Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}-4 y=\cos (x)+e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
y^{(4)} - 5\,y'' + 6\,y' - 4\,y = \cos(x) + e^{2x}.
O procedimento geral é: primeiro encontrar a solução geral da homogênea (por meio da equação característica) e depois obter uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
y^{(4)} - 5\,y'' + 6\,y' - 4\,y = 0
e a equação característica associada é
r^4 - 5\,r^2 + 6\,r - 4 = 0.
Seja r_1,r_2,r_3,r_4 as raízes (reais ou complexas) dessa equação. Então a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x}+C_4 e^{r_4 x}.

Passo 3

Para a parte forçada \cos(x)\), usamos o ansatz \[y_{p1}(x)=A\cos(x)+B\sin(x).
Calculando as derivadas e substituindo no LHS nota‐se que
y_{p1}^{(4)}-5\,y_{p1}''+6\,y_{p1}'-4\,y_{p1} =(2A+6B)\cos(x)+(2B-6A)\sin(x).
Igualando a \cos(x) (coeficiente 1) e a \sin(x) (coeficiente 0) obtém‐se o sistema
\begin{cases} 2A+6B=1,\\\\ -6A+2B=0, \end{cases}
cuja solução é A=\tfrac1{20}\] e \(B=\tfrac3{20}. Logo
y_{p1}(x)=\frac1{20}\cos(x)+\frac3{20}\sin(x).

Passo 4

Para a parte forçada e^{2x}, tentamos
y_{p2}(x)=C\,e^{2x}.
Então
y_{p2}^{(4)}-5\,y_{p2}''+6\,y_{p2}'-4\,y_{p2} =(16-20+12-4)\,C\,e^{2x}=4C\,e^{2x}.
Para igualar a e^{2x} é preciso 4C=1, ou seja C=\tfrac14. Assim
y_{p2}(x)=\frac14\,e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da equação não‐homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_{p1}(x)+y_{p2}(x).

Resposta

y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x}+C_4 e^{r_4 x} +\frac1{20}\cos(x)+\frac3{20}\sin(x)+\frac14\,e^{2x},
onde r_1,r_2,r_3,r_4 são as raízes da equação característica
r^4 - 5\,r^2 + 6\,r - 4 = 0.

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