Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
(a) (3 x^2 y + 2 x y^2 + sen(y)) dx + (x^3 + 2 x^2 y + x cos(y)) dy = 0

Passo 1

Ok, vamos resolver essa equação diferencial exata que foi dada:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dê a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e :

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Passo 6

Integrando , encontramos que é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Portanto, a função potencial fica:

Passo 8

Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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