Resolver o sistema:
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede resolver para
e
em termos dos parâmetros
e
.
Informações importantes fornecidas:
O objetivo é encontrar todas as soluções
(em geral, em função de
e
) que satisfazem essas duas equações simultaneamente.]
Passo 2
Usar a primeira equação para isolar uma das incógnitas é uma técnica simples e direta. A partir de
podemos escrever
Depois, substituímos essa expressão na segunda equação
para obter uma equação só em
. Essa substituição é prática porque reduz o sistema a uma única equação polinomial em uma variável.
Passo 3
Fazendo a substituição
em
obtemos
Desenvolvendo,
Isto é uma equação quadrática na forma padrão
com
Vou lembrar rapidamente a fórmula de resolução de uma quadrática: para
a solução é
onde o discriminante é
. O discriminante indica se as raízes são reais (
) ou complexas (
).
Passo 4
Calcular o discriminante para a nossa quadrática:
Note que
para quaisquer
reais, porque é soma de quadrados. Assim as raízes são sempre reais (se
reais).
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Agora obtemos
usando
. Substituindo as duas possíveis raízes de
:
Se
então
Se
então
Portanto as soluções vêm em pares com o mesmo sinal nas expressões com a raiz.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para prova): multiplicando
por
para cada opção deve retornar
, e
deve dar
. Isso funciona porque construímos
resolvendo exatamente a equação obtida da substituição; a álgebra acima já garante isso.
Comentário sobre casos especiais:
- Se
então e as soluções se reduzem a e , que correspondem às combinações esperadas ou . - Para
reais, como mostrado, as duas soluções são reais porque .