Resolver o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x-y=a \\\ x y=b^{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} x-y=a,\\[4pt] x y=b^{2}, \end{array}\right.
e pede resolver para x e y em termos dos parâmetros a e b.
Informações importantes fornecidas:
x-y=a \qquad\text{e}\qquad x y=b^{2}.
O objetivo é encontrar todas as soluções (x,y) (em geral, em função de a e b) que satisfazem essas duas equações simultaneamente.]

Passo 2

Usar a primeira equação para isolar uma das incógnitas é uma técnica simples e direta. A partir de
x-y=a
podemos escrever
x = y + a.
Depois, substituímos essa expressão na segunda equação x y = b^{2} para obter uma equação só em y. Essa substituição é prática porque reduz o sistema a uma única equação polinomial em uma variável.

Passo 3

Fazendo a substituição x=y+a em x y=b^{2} obtemos
(y+a)\,y=b^{2}.
Desenvolvendo,
y^{2}+a y - b^{2}=0.
Isto é uma equação quadrática na forma padrão A y^{2}+B y + C=0 com
A=1,\qquad B=a,\qquad C=-b^{2}.
Vou lembrar rapidamente a fórmula de resolução de uma quadrática: para A y^{2}+B y + C=0 a solução é
y=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A},
onde o discriminante é \Delta=B^{2}-4AC. O discriminante indica se as raízes são reais ( \Delta\ge 0) ou complexas ( \Delta<0).

Passo 4

Calcular o discriminante para a nossa quadrática:
\Delta = B^{2}-4AC = a^{2}-4\cdot1\cdot(-b^{2}) = a^{2}+4b^{2}.
Note que \Delta=a^{2}+4b^{2}\ge 0 para quaisquer a,b reais, porque é soma de quadrados. Assim as raízes são sempre reais (se a,b reais).
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y=\frac{-a\pm\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}.

Passo 5

Agora obtemos x usando x=y+a. Substituindo as duas possíveis raízes de y:
Se y=\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2} então
x=y+a=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}+a=\frac{-a+2a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}=\frac{a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}.
Se y=\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2} então
x=y+a=\frac{-a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}+a=\frac{-a+2a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}=\frac{a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}.
Portanto as soluções vêm em pares com o mesmo sinal nas expressões com a raiz.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): multiplicando x por y para cada opção deve retornar b^{2}, e x-y deve dar a. Isso funciona porque construímos y resolvendo exatamente a equação obtida da substituição; a álgebra acima já garante isso.
Comentário sobre casos especiais:
  • Se b=0 então \sqrt{a^{2}+4b^{2}}=\sqrt{a^{2}}=|a| e as soluções se reduzem a (x,y)=\big(\tfrac{a+|a|}{2},\tfrac{-a+|a|}{2}\big) e (x,y)=\big(\tfrac{a-|a|}{2},\tfrac{-a-|a|}{2}\big), que correspondem às combinações esperadas y=0 ou y=-a.
  • Para a,b reais, como mostrado, as duas soluções são reais porque a^{2}+4b^{2}\ge0.

Resposta

\displaystyle x=\frac{a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2},\quad y=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}
\displaystyle x=\frac{a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2},\quad y=\frac{-a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}