Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto):
x + y + z = 1
x + 2y + 2z = 2
3x + 4y + 4z = 4

Passo 1

Beleza, então temos um sistema de equações com três variáveis: , e . O enunciado pede para resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss, que é uma técnica direta para encontrar os valores dessas variáveis. Para isso, vamos precisar manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações da forma matricial ampliada, que ajuda a visualizar melhor o processo de eliminação:

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável das segunda e terceira equações. Para isso, subtraímos a primeira equação da segunda e multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Multiplicando a primeira equação por 3 e subtraindo da terceira:

Passo 4

Observamos que as duas novas equações resultaram na mesma coisa: . Isso indica que há uma dependência entre as equações, o que significa que o sistema possui infinitas soluções. Para expressar essas soluções, podemos escolher uma variável como “livre” e expressar as outras em termos dela.

Passo 5

Vamos escolher como variável livre. Isso significa que podemos atribuir qualquer valor para e encontrar os valores correspondentes de e .
A partir de :
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

As soluções do sistema são todas as combinações onde:
éú
Ou seja, pode ser qualquer valor, e será com sempre igual a 0.

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