Resolver os sistemas pelo método matricial: \left\{\begin{array}{l}-2 x-y+2 w=a \\\\ 3 x+y-2 z-2 w=b \\\\ -4 x-y+2 z+3 w=c \\\\ 3 x+y-z-2 w=d\end{array}\right..
Para \boldsymbol{a}=-8, \boldsymbol{b}=-4, \boldsymbol{c}=-9 e \boldsymbol{d}=8.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} -2x - y + 2w = a,\\\\ 3x + y - 2z - 2w = b,\\\\ -4x - y + 2z + 3w = c,\\\\ 3x + y - z - 2w = d, \end{cases}
com a=-8, b=-4, c=-9, d=8. Vamos escrever na forma matricial A X = B e resolver por eliminação (método matricial).

Passo 2

Em forma matricial,
A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & -2 & -2\\\\ -4 & -1 & 2 & 3\\\\ 3 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\\ -4\\\ -9\\\ 8\end{pmatrix}.

Passo 3

Para eliminar y e x simultaneamente nas equações 2 e 4, fazemos (4) – (2):
\bigl[\,3x+y - z -2w\bigr] \;-\;\bigl[\,3x+y -2z -2w\bigr] \;=\;d - b \;\Longrightarrow\;-z+2z = d - b = 8 - (-4) = 12,
logo
z = 12.

Passo 4

Substituindo z=12 em (2) ou em (4) achamos uma relação entre x,y,w. Por exemplo, em (2):
3x + y -2\cdot12 -2w = -4 \;\Longrightarrow\; 3x + y -2w = -4 +24 = 20.
Denotamos essa nova equação por
3x + y -2w = 20. \tag{5}

Passo 5

Somamos (5) com a equação (1) para eliminar y e w:
(3x + y -2w) + (-2x - y +2w) = 20 + (-8) \;\Longrightarrow\; x = 12.

Passo 6

Agora em (5) substituímos x=12 e z=12 (já usado indiretamente em 5) para achar y:
3\cdot12 + y -2w = 20 \;\Longrightarrow\; 36 + y -2w = 20 \;\Longrightarrow\; y -2w = -16 \;\Longrightarrow\; y = -16 + 2w.

Passo 7

Por fim, substituímos x=12, y=-16+2w, z=12 em (3) para encontrar w:
-4\cdot12 -\bigl(-16+2w\bigr) +2\cdot12 +3w = -9 \;\Longrightarrow\; -48 +16 -2w +24 +3w = -9 \;\Longrightarrow\; -8 + w = -9 \;\Longrightarrow\; w = -1.
Então
y = -16 + 2(-1) = -18.

Resposta

(x,y,z,w) = (12,\,-18,\;12,\,-1).

Exercícios relacionados