Resolver os sistemas pelo método matricial: \left\{\begin{array}{l}-2 x-y+2 w=a \\\\ 3 x+y-2 z-2 w=b \\\\ -4 x-y+2 z+3 w=c \\\\ 3 x+y-z-2 w=d\end{array}\right..
Para \boldsymbol{a}=4, \boldsymbol{b}=0, \boldsymbol{c}=-2 e \boldsymbol{d}=3.

Passo 1

O enunciado pede a solução de um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas (x,y,z,w) dependendo de constantes a,b,c,d, usando o método matricial. Vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas) para encontrar (x,y,z,w) em função de (a,b,c,d) e depois substituir a=4, b=0, c=-2, d=3.

Passo 2

Escrevemos a forma matricial \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & -2 & -2\\\\ -4 & -1 & 2 & 3\\\\ 3 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix}.

Passo 3

Subtraímos a quarta equação da segunda para eliminar x e y:
(3x+y-2z-2w)-\bigl(3x+y-z-2w\bigr)=b-d
-\,z = b-d.
Com b=0 e d=3 vem
-\,z = -3 \quad\Longrightarrow\quad z = 3.

Passo 4

Somamos a primeira e a segunda equações para eliminar y e w:
(-2x - y + 2w) + (3x + y - 2z - 2w) = a + b
x - 2z = a + b.
Substituindo a=4, b=0, z=3 resulta
x - 2\cdot3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 10.

Passo 5

Usamos a primeira equação para relacionar y e w:
-2x - y + 2w = a.
Com x=10 e a=4 obtemos
-20 - y + 2w = 4 \quad\Longrightarrow\quad -\,y + 2w = 24 \quad\Longrightarrow\quad y - 2w = -24.

Passo 6

Usamos a terceira equação para obter outra relação entre y e w:
-4x - y + 2z + 3w = c.
Substituindo x=10, z=3, c=-2
-40 - y + 6 + 3w = -2 \quad\Longrightarrow\quad -\,y + 3w = 32 \quad\Longrightarrow\quad y - 3w = -32.

Passo 7

Resolvendo o sistema em y,w:
\begin{cases} y - 2w = -24,\\\ y - 3w = -32, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira:
(y - 2w) - (y - 3w) = -24 - (-32) \quad\Longrightarrow\quad w = 8.
E então
y - 2\cdot8 = -24 \quad\Longrightarrow\quad y = -8.

Resposta

x = 10, y = -8, z = 3, w = 8.

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