A respeito do escoamento de fluidos externamente a contornos rígidos, responda:
O que é velocidade terminal e como esta velocidade pode ser empregada para a determinação da viscosidade de fluidos e do coeficiente de arraste de corpos em escoamento.
O que é velocidade terminal e como esta velocidade pode ser empregada para a determinação da viscosidade de fluidos e do coeficiente de arraste de corpos em escoamento.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que é a velocidade terminal.
- Explicar como a velocidade terminal pode ser usada para determinar (i) a viscosidade de um fluido e (ii) o coeficiente de arrasto de um corpo no escoamento.
Informações relevantes (conceitos e quantidades que normalmente aparecem nesses problemas):
- Um corpo (por exemplo uma esfera) cai em um fluido sob a ação da gravidade
. - Forças que atuam no corpo: peso
, empuxo/buoyancy , e força de arrasto . - Densidades:
(sólido/corpo) e (fluido). Diferença . - Geometria típica: esfera de raio
(diâmetro ); área projetada . - Modelos de arrasto que vamos usar:
- Regime viscoso (Reynolds pequeno): lei de Stokes
. - Regime inercial (Re moderado/alto): forma quadrática
.
- Regime viscoso (Reynolds pequeno): lei de Stokes
- Para usar fórmulas é preciso garantir que as hipóteses do regime (baixo Re para Stokes, etc.) sejam satisfeitas.
Passo 2
O que é velocidade terminal — explicação física e matemática simples.
Intuição física (sem jargão): quando o corpo começa a cair, a velocidade aumenta porque a gravidade puxa. Mas à medida que a velocidade cresce, a resistência do fluido (arrasto) também cresce. Chega um momento em que a soma das forças que resistem ao movimento (arrasto + empuxo) iguala exatamente o peso resultante, e a aceleração passa a ser zero: daí em diante o corpo desce com velocidade constante — essa é a velocidade terminal.
Formulação matemática do equilíbrio (padrão para uma esfera, mas a ideia vale para qualquer corpo): no regime terminal
Peso do corpo:
.
Empuxo (força de Arquimedes): .
Logo a força resultante disponível para vencer o arrasto é
Empuxo (força de Arquimedes):
Logo a força resultante disponível para vencer o arrasto é
No regime terminal essa força é igual ao arrasto
. A forma de
depende do regime de escoamento (viscoso ou inercial), daí saem as fórmulas práticas.
Passo 3
Usando velocidade terminal para medir a viscosidade: caso Stokes (Re muito pequeno).
Quando o número de Reynolds
é pequeno (tipicamente
a
, dependendo da precisão), o arrasto sobre uma esfera é dado pela lei de Stokes:
onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade SI: ), -
é o raio da esfera (m), -
é a velocidade terminal (m/s).
Equilibrando forças (
):
Agora isolamos
. Cancelando
em ambos os lados e reorganizando:
Interpretação passo a passo:
- Meço
experimentalmente (deixa a esfera cair, meço velocidade quando constante). - Conheço
, , e . - Substituo na fórmula para calcular
.
Condições e cuidados práticos:
- Verificar que
calculado com a obtida é de fato pequeno; se não, a lei de Stokes não vale e o resultado é errado. - Corrigir efeitos de parede (recipiente finito): em um cilindro finito a resistência é maior que no infinito; existe correção de Faxén (fatores multiplicativos que dependem
, onde é o raio do tubo). - Controlar temperatura (viscosidade depende fortemente de
). - Escolher esfera suficientemente pequena e densidade adequada para manter Re baixo e obter velocidade medida facilmente.
Passo 4
Usando velocidade terminal para determinar o coeficiente de arrasto
: caso inercial/quadrático.
Quando o regime não é puramente viscoso (Re moderado/alto), o arrasto costuma ser modelado por
onde:
-
é o coeficiente de arrasto adimensional (depende de Re e da forma do corpo), -
é a área projetada ( para esfera), -
densidade do fluido.
Equilibrando com
:
Cancelando
e isolando
:
Interpretação:
- Medindo
e conhecendo , posso calcular . - Esse
será válido na condição experimental usada (mesma geometria, superfície, orientação) e corresponde ao Re associado:
- Em geral
depende de Re; os valores tabulados/experimentais são a função .
Passo 5
Regime transicional e método prático iterativo usando correlações empíricas.
Na prática muitas situações caem num regime intermediário onde nem Stokes puro nem a expressão quadrática simples servem diretamente. Procedimento comum:
- Medir
. - Fazer um palpite inicial para
(ou usar valor aproximado) e calcular . - Usar uma correlação empírica para
, por exemplo a correlação de Schiller–Naumann (válida para esferas e até ): - Usar o equilíbrio
para refinar ou checar coerência. - Repetir até convergir (ou usar métodos numéricos diretos).
Esse procedimento é necessário porque
e
estão acoplados através de
.
Passo 6
Dicas experimentais e fontes de erro (para aplicar isso na prática ou na prova)
- Checar se a velocidade medida é realmente terminal: observar o trajeto e medir apenas quando a velocidade estiver constante.
- Evitar efeitos de parede: usar um tubo com raio
muito maior que ou aplicar correções de Faxén. - Temperatura: medir e controlar, pois
varia muito. - Precisão nas densidades: erro em
ou afeta linearmente o cálculo. - Escolha do regime: para medir
com Stokes, assegure . Para obter em regimes superiores, confirme a faixa de validade da correlação escolhida. - Registrar incertezas: velocidade (erro de medição), tamanho da esfera (erro em
ou ), densidade e temperatura.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (ilustrativo, para fixar a ideia)
Suponha uma esfera de
,
,
, e medida experimental
. Queremos
pela lei de Stokes (assumindo Re pequeno).
Calcular
. Usando
substituindo
:
Verificação rápida do regime:
. Está abaixo de
, então o uso da lei de Stokes é razoável nessa estimativa. (Se
fosse grande, deveríamos usar o método iterativo com correlações de
.)
Passo 8
Resumo prático — como proceder numa prova ou num experimento curto
- Explique fisicamente o que é velocidade terminal (equilíbrio de forças).
- Para medir viscosidade: use a fórmula de Stokes quando
for muito pequeno e calcule . - Para obter
: use a forma quadrática e calcule , lembrando que esse deve ser interpretado junto com o número de Reynolds associado. - Se estiver em regime intermediário, use uma correlação empírica
e um método iterativo até convergir. - Sempre verifique hipóteses (Reynolds, efeitos de parede, temperatura) antes de aceitar o resultado.
Resposta
Velocidade terminal é a velocidade constante que um corpo atinge quando cai em um fluido porque a soma das forças resistentes (arrasto + empuxo) equilibra exatamente o peso resultante; matematicamente, é o
que satisfaz
.
Para determinar a viscosidade (regime de Stokes,
):
Para determinar o coeficiente de arrasto (regime inercial/quadrático):
Em regimes intermediários usa-se uma correlação empírica
(por exemplo Schiller–Naumann) e um procedimento iterativo porque
e
estão acoplados.