A respeito do escoamento de fluidos externamente a contornos rígidos, responda:
O que é velocidade terminal e como esta velocidade pode ser empregada para a determinação da viscosidade de fluidos e do coeficiente de arraste de corpos em escoamento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é a velocidade terminal.
  • Explicar como a velocidade terminal pode ser usada para determinar (i) a viscosidade de um fluido e (ii) o coeficiente de arrasto de um corpo no escoamento.
Informações relevantes (conceitos e quantidades que normalmente aparecem nesses problemas):
  • Um corpo (por exemplo uma esfera) cai em um fluido sob a ação da gravidade g.
  • Forças que atuam no corpo: peso \,F_g, empuxo/buoyancy \,F_b, e força de arrasto \,F_D.
  • Densidades: \rho_s (sólido/corpo) e \rho_f (fluido). Diferença \Delta\rho=\rho_s-\rho_f.
  • Geometria típica: esfera de raio r (diâmetro D=2r); área projetada A=\pi r^2.
  • Modelos de arrasto que vamos usar:
    • Regime viscoso (Reynolds pequeno): lei de Stokes \,F_D=6\pi\mu r v.
    • Regime inercial (Re moderado/alto): forma quadrática \,F_D=\tfrac{1}{2}C_D\rho_f A v^2.
  • Para usar fórmulas é preciso garantir que as hipóteses do regime (baixo Re para Stokes, etc.) sejam satisfeitas.

Passo 2

O que é velocidade terminal — explicação física e matemática simples.
Intuição física (sem jargão): quando o corpo começa a cair, a velocidade aumenta porque a gravidade puxa. Mas à medida que a velocidade cresce, a resistência do fluido (arrasto) também cresce. Chega um momento em que a soma das forças que resistem ao movimento (arrasto + empuxo) iguala exatamente o peso resultante, e a aceleração passa a ser zero: daí em diante o corpo desce com velocidade constante — essa é a velocidade terminal.
Formulação matemática do equilíbrio (padrão para uma esfera, mas a ideia vale para qualquer corpo): no regime terminal
F_g - F_b - F_D = 0.
Peso do corpo: F_g = m g = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_s g.
Empuxo (força de Arquimedes): F_b = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_f g.
Logo a força resultante disponível para vencer o arrasto é
F_g - F_b = \frac{4}{3}\pi r^3 (\rho_s-\rho_f) g = \frac{4}{3}\pi r^3 \Delta\rho\, g.
No regime terminal essa força é igual ao arrasto F_D. A forma de F_D depende do regime de escoamento (viscoso ou inercial), daí saem as fórmulas práticas.

Passo 3

Usando velocidade terminal para medir a viscosidade: caso Stokes (Re muito pequeno).
Quando o número de Reynolds \,{\rm Re}=\dfrac{\rho_f v D}{\mu} é pequeno (tipicamente {\rm Re}\lesssim 0{,}1 a 1, dependendo da precisão), o arrasto sobre uma esfera é dado pela lei de Stokes:
F_D = 6\pi \mu r v_t,
onde:
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade SI: \mathrm{Pa\cdot s}),
  • r é o raio da esfera (m),
  • v_t é a velocidade terminal (m/s).
Equilibrando forças ( F_D = F_g - F_b):
6\pi \mu r v_t = \frac{4}{3}\pi r^3 \Delta\rho\, g.
Agora isolamos \mu. Cancelando \pi r em ambos os lados e reorganizando:
\mu = \frac{2}{9}\, \frac{r^2 \Delta\rho\, g}{v_t}.
Interpretação passo a passo:
  • Meço v_t experimentalmente (deixa a esfera cair, meço velocidade quando constante).
  • Conheço r, \rho_s, \rho_f e g.
  • Substituo na fórmula para calcular \mu.
Condições e cuidados práticos:
  • Verificar que {\rm Re} calculado com a \mu obtida é de fato pequeno; se não, a lei de Stokes não vale e o resultado é errado.
  • Corrigir efeitos de parede (recipiente finito): em um cilindro finito a resistência é maior que no infinito; existe correção de Faxén (fatores multiplicativos que dependem r/R, onde R é o raio do tubo).
  • Controlar temperatura (viscosidade depende fortemente de T).
  • Escolher esfera suficientemente pequena e densidade adequada para manter Re baixo e obter velocidade medida facilmente.

Passo 4

Usando velocidade terminal para determinar o coeficiente de arrasto C_D: caso inercial/quadrático.
Quando o regime não é puramente viscoso (Re moderado/alto), o arrasto costuma ser modelado por
F_D = \tfrac{1}{2} C_D \rho_f A v_t^2,
onde:
  • C_D é o coeficiente de arrasto adimensional (depende de Re e da forma do corpo),
  • A é a área projetada ( A=\pi r^2 para esfera),
  • \rho_f densidade do fluido.
Equilibrando com F_g-F_b:
\tfrac{1}{2} C_D \rho_f \pi r^2 v_t^2 = \frac{4}{3}\pi r^3 \Delta\rho\, g.
Cancelando \pi r^2 e isolando C_D:
C_D = \frac{8}{3}\,\frac{r \Delta\rho\, g}{\rho_f v_t^2}.
Interpretação:
  • Medindo v_t e conhecendo r,\rho_s,\rho_f,g, posso calcular C_D.
  • Esse C_D será válido na condição experimental usada (mesma geometria, superfície, orientação) e corresponde ao Re associado:
{\rm Re} = \dfrac{\rho_f v_t D}{\mu}.
  • Em geral C_D depende de Re; os valores tabulados/experimentais são a função C_D({\rm Re}).

Passo 5

Regime transicional e método prático iterativo usando correlações empíricas.
Na prática muitas situações caem num regime intermediário onde nem Stokes puro nem a expressão quadrática simples servem diretamente. Procedimento comum:
  1. Medir v_t.
  2. Fazer um palpite inicial para \mu (ou usar valor aproximado) e calcular {\rm Re}=\dfrac{\rho_f v_t D}{\mu}.
  3. Usar uma correlação empírica para C_D({\rm Re}), por exemplo a correlação de Schiller–Naumann (válida para esferas e até {\rm Re}\sim800): C_D = \frac{24}{{\rm Re}}\left(1+0{,}15\,{\rm Re}^{0{,}687}\right).
  4. Usar o equilíbrio \tfrac{1}{2} C_D \rho_f A v_t^2 = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \Delta\rho\, g para refinar \mu ou checar coerência.
  5. Repetir até convergir (ou usar métodos numéricos diretos).
Esse procedimento é necessário porque C_D e {\rm Re} estão acoplados através de \mu.

Passo 6

Dicas experimentais e fontes de erro (para aplicar isso na prática ou na prova)
  • Checar se a velocidade medida é realmente terminal: observar o trajeto e medir apenas quando a velocidade estiver constante.
  • Evitar efeitos de parede: usar um tubo com raio R muito maior que r ou aplicar correções de Faxén.
  • Temperatura: medir e controlar, pois \mu(T) varia muito.
  • Precisão nas densidades: erro em \rho_s ou \rho_f afeta linearmente o cálculo.
  • Escolha do regime: para medir \mu com Stokes, assegure {\rm Re}\ll1. Para obter C_D em regimes superiores, confirme a faixa de validade da correlação escolhida.
  • Registrar incertezas: velocidade (erro de medição), tamanho da esfera (erro em r^2 ou r), densidade e temperatura.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (ilustrativo, para fixar a ideia)
Suponha uma esfera de r=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \rho_s=7800\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_f=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, e medida experimental v_t=0{,}05\\ \mathrm{m/s}. Queremos \mu pela lei de Stokes (assumindo Re pequeno).
Calcular \Delta\rho=7800-1000=6800\\ \mathrm{kg/m^3}. Usando
\mu = \frac{2}{9}\,\frac{r^2 \Delta\rho\, g}{v_t},
substituindo g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
\mu = \frac{2}{9}\,\frac{(1{,}0\times10^{-3})^2 \cdot 6800 \cdot 9{,}81}{0{,}05} \approx 0{,}296\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Verificação rápida do regime: {\rm Re}=\dfrac{\rho_f v_t D}{\mu}=\dfrac{1000\cdot0{,}05\cdot2{,}0\times10^{-3}}{0{,}296}\approx0{,}34. Está abaixo de 1, então o uso da lei de Stokes é razoável nessa estimativa. (Se {\rm Re} fosse grande, deveríamos usar o método iterativo com correlações de C_D.)

Passo 8

Resumo prático — como proceder numa prova ou num experimento curto
  • Explique fisicamente o que é velocidade terminal (equilíbrio de forças).
  • Para medir viscosidade: use a fórmula de Stokes quando {\rm Re} for muito pequeno e calcule \mu=\dfrac{2}{9}\dfrac{r^2\Delta\rho\,g}{v_t}.
  • Para obter C_D: use a forma quadrática e calcule C_D=\dfrac{8}{3}\dfrac{r\Delta\rho\,g}{\rho_f v_t^2}, lembrando que esse C_D deve ser interpretado junto com o número de Reynolds associado.
  • Se estiver em regime intermediário, use uma correlação empírica C_D({\rm Re}) e um método iterativo até convergir.
  • Sempre verifique hipóteses (Reynolds, efeitos de parede, temperatura) antes de aceitar o resultado.

Resposta

Velocidade terminal é a velocidade constante que um corpo atinge quando cai em um fluido porque a soma das forças resistentes (arrasto + empuxo) equilibra exatamente o peso resultante; matematicamente, é o v_t que satisfaz F_g-F_b-F_D=0.
Para determinar a viscosidade (regime de Stokes, {\rm Re}\ll1):
\mu = \frac{2}{9}\,\frac{r^2(\rho_s-\rho_f)\,g}{v_t}.
Para determinar o coeficiente de arrasto (regime inercial/quadrático):
C_D = \frac{8}{3}\,\frac{r(\rho_s-\rho_f)\,g}{\rho_f v_t^2}.
Em regimes intermediários usa-se uma correlação empírica C_D({\rm Re}) (por exemplo Schiller–Naumann) e um procedimento iterativo porque C_D e {\rm Re} estão acoplados.

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