Responda: Dê exemplos de duas séries sum an e sum bn divergentes tal que sum an bn converge.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar dois exemplos de séries, que chamaremos de sum an e sum bn, que individualmente não convergem (ou seja, elas são divergentes). Mas, quando a gente multiplica os termos correspondentes dessas séries e soma tudo, a nova série sum an bn converge. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser divergente ou convergente e como a multiplicação de termos pode afetar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente e uma divergente. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando n vai para o infinito. Se isso não acontece, dizemos que a série é divergente.

Passo 3

Agora, precisamos de duas séries divergentes. Um exemplo clássico de série divergente é a série harmônica:
sumn=1^infty 1n
Essa série cresce sem limite à medida que somamos mais termos, então ela é divergente.

Passo 4

Vamos escolher outra série divergente. Podemos escolher, por exemplo, a série:
sumn=1^infty (-1)^n
Essa série não se aproxima de nenhum valor específico quando somamos seus termos, então ela também é divergente.

Passo 5

Agora, precisamos multiplicar os termos correspondentes dessas duas séries e ver se a nova série converge. Vamos multiplicar an = 1n e bn = (-1)^n:
an bn = 1n cdot (-1)^n = (-1)^nn
Então, a nova série será:
sumn=1^infty (-1)^nn

Passo 6

Vamos verificar se essa nova série converge. Essa é conhecida como a série alternada harmônica, e sabemos que séries alternadas do tipo sum (-1)^n 1n convergem pelo Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos da série alternam de sinal, estão diminuindo em módulo e tendem a zero, então a série converge.

Resposta

Um exemplo são as séries sumn=1^infty 1n e sumn=1^infty (-1)^n, que são divergentes, mas o produto delas sumn=1^infty (-1)^nn converge.

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