Responda: Dê exemplos de duas séries
divergentes tal que
converge.
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar dois exemplos de séries, que chamaremos de
e
, que individualmente não convergem (ou seja, elas são divergentes). Mas, quando a gente multiplica os termos correspondentes dessas séries e soma tudo, a nova série
converge. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser divergente ou convergente e como a multiplicação de termos pode afetar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente e uma divergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando
vai para o infinito. Se isso não acontece, dizemos que a série é divergente.
Passo 3
Agora, precisamos de duas séries divergentes. Um exemplo clássico de série divergente é a série harmônica:
Essa série cresce sem limite à medida que somamos mais termos, então ela é divergente.
Passo 4
Vamos escolher outra série divergente. Podemos escolher, por exemplo, a série:
Essa série não se aproxima de nenhum valor específico quando somamos seus termos, então ela também é divergente.
Passo 5
Agora, precisamos multiplicar os termos correspondentes dessas duas séries e ver se a nova série converge. Vamos multiplicar
e
:
Então, a nova série será:
Passo 6
Vamos verificar se essa nova série converge. Essa é conhecida como a série alternada harmônica, e sabemos que séries alternadas do tipo
convergem pelo Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos da série alternam de sinal, estão diminuindo em módulo e tendem a zero, então a série converge.
Resposta
Um exemplo são as séries
e
, que são divergentes, mas o produto delas
converge.