Responda as questões abaixo: a) A partir de um balanço de energia em um volume de controle, deduza a equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para deduzirmos a equação geral da condução de calor usando um balanço de energia em um volume de controle. Isso envolve conceitos de transferência de calor e equações de conservação de energia. Para isso, vamos precisar entender como o calor se distribui em um espaço retangular e aplicar algumas ferramentas matemáticas básicas, como derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um volume de controle retangular no qual estamos analisando a transferência de calor. Esse volume tem dimensões em
,
e
. A ideia é balancear a energia que entra e sai desse volume para derivar a equação de condução de calor.
Passo 3
A primeira lei da termodinâmica para um volume de controle diz que a variação da energia interna dentro do volume é igual à taxa de calor entrando menos a taxa de calor saindo, mais qualquer trabalho realizado. No caso da condução de calor pura (sem movimento do fluido), podemos simplificar essa equação.
Passo 4
Vamos considerar que a energia interna
do volume de controle depende da temperatura
. A taxa de variação da energia interna é então:
Onde
é o tempo.
Passo 5
Assumindo que o material é homogêneo e isotrópico, a energia interna pode ser relacionada à temperatura através da densidade
e da capacidade calorífica específica
:
Onde
é o volume do controle.
Passo 6
A taxa de variação da energia interna fica então:
Passo 7
Agora, vamos considerar o fluxo de calor através das faces do volume de controle. Segundo a Lei de Fourier da condução de calor, o fluxo de calor
é proporcional ao gradiente de temperatura:
Onde
é a condutividade térmica.
Passo 8
A divergência do fluxo de calor,
, representa a taxa líquida de calor entrando no volume de controle. Em coordenadas retangulares, isso se expande para:
Passo 9
Substituindo
na expressão acima:
Passo 10
Aplicando o balanço de energia, igualamos a variação da energia interna à divergência do fluxo de calor:
Resposta
A equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares é: