Responda as questões abaixo: a) A partir de um balanço de energia em um volume de controle, deduza a equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para deduzirmos a equação geral da condução de calor usando um balanço de energia em um volume de controle. Isso envolve conceitos de transferência de calor e equações de conservação de energia. Para isso, vamos precisar entender como o calor se distribui em um espaço retangular e aplicar algumas ferramentas matemáticas básicas, como derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um volume de controle retangular no qual estamos analisando a transferência de calor. Esse volume tem dimensões em , e . A ideia é balancear a energia que entra e sai desse volume para derivar a equação de condução de calor.

Passo 3

A primeira lei da termodinâmica para um volume de controle diz que a variação da energia interna dentro do volume é igual à taxa de calor entrando menos a taxa de calor saindo, mais qualquer trabalho realizado. No caso da condução de calor pura (sem movimento do fluido), podemos simplificar essa equação.

Passo 4

Vamos considerar que a energia interna partial Upartial t do volume de controle depende da temperatura . A taxa de variação da energia interna é então:
Onde é o tempo.

Passo 5

Assumindo que o material é homogêneo e isotrópico, a energia interna pode ser relacionada à temperatura através da densidade U = rho cp V T e da capacidade calorífica específica :
Onde é o volume do controle.

Passo 6

A taxa de variação da energia interna fica então:
partialpartial t (rho cp V T) = rho cp V partial Tpartial t

Passo 7

Agora, vamos considerar o fluxo de calor através das faces do volume de controle. Segundo a Lei de Fourier da condução de calor, o fluxo de calor q = -k nabla T é proporcional ao gradiente de temperatura:
Onde é a condutividade térmica.

Passo 8

A divergência do fluxo de calor, nabla cdot q = partial qxpartial x + partial qypartial y + partial qzpartial z , representa a taxa líquida de calor entrando no volume de controle. Em coordenadas retangulares, isso se expande para:

Passo 9

Substituindo nabla cdot q = -k ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 ) na expressão acima:

Passo 10

Aplicando o balanço de energia, igualamos a variação da energia interna à divergência do fluxo de calor:
rho cp partial Tpartial t = k ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )

Resposta

A equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares é:
rho cp partial Tpartial t = k ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )

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