Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
 
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função 
 . A gente vai analisar diferentes características dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem.
Primeiro, pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada de 
 .
Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois pontos críticos:
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem.
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada 
 .
Os pontos críticos dividem a reta real em intervalos. Temos os pontos 
  e 
 .
Vamos testar um valor em cada intervalo:
- 
Intervalo
: Escolha  - 
Intervalo
: Escolha  - 
Intervalo
: Escolha  
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem.
Os pontos críticos podem ser máximos ou mínimos. Usamos o teste da primeira derivada para determinar isso:
- 
No
: 
A derivada muda de negativa para positiva quando passa por, indicando um mínimo local.  - 
No
: 
A derivada muda de positiva para negativa quando passa por, indicando um máximo local.  
Para encontrar as coordenadas, substituímos 
  na função original:
- 
Mínimo em
: Então, o ponto mínimo é.  - 
Máximo em
: Então, o ponto máximo é.  
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem.
Para analisar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada da função:
Agora, determinamos onde 
  é positiva ou negativa:
Passo 6
e) Ponto(s) inflexão, se existirem.
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Igualamos 
  a zero:
Agora, verificamos se há mudança de concavidade em 
 :
- Para 
, (concavidade para cima)  - Para 
, (concavidade para baixo)  
Como há mudança, 
  é um ponto de inflexão.
Calculando a coordenada y:
Portanto, o ponto de inflexão é 
 .
Passo 7
f) Assíntota(s), se existirem.
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para polinômios como 
 , não existem assíntotas horizontais ou verticais, pois elas são definidas para funções racionais onde o denominador pode se anular ou para funções de limite que tendem ao infinito de forma particular. Como nosso polinômio é definido para todo 
  e não possui divisão por zero ou comportamento assintótico, não existem assíntotas.
Passo 8
g) Construir o gráfico.
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função 
 :
- 
Pontos Críticos:
- Mínimo em 
 - Máximo em 
 
 - Mínimo em 
 - 
Ponto de Inflexão:
 - 
 - 
Comportamento nos Intervalos:
- Decrescente para 
 - Crescente para 
 - Decrescente para 
 
 - Decrescente para 
 - 
Concavidade:
- Concava para cima quando 
 - Concava para baixo quando 
 
 - Concava para cima quando 
 - 
Assíntotas:
- Nenhuma
 
 - 
Ponto de Interseção com o Y:
- Quando 
: Então, o ponto é .  
 - Quando 
 
Com essas informações, o gráfico apresenta uma curva que desce até 
 , onde atinge um mínimo, sobe até 
 , atingindo um máximo, e depois desce novamente. Há uma inflexão em 
 , onde a concavidade muda.
Resposta
A função 
  possui pontos críticos em 
  (mínimo em 
 ) e 
  (máximo em 
 ). Ela está decrescente em 
  e 
 , e crescente em 
 . A concavidade é para cima em 
  e para baixo em 
 , com ponto de inflexão em 
 . Não há assíntotas. O gráfico apresenta esses pontos e comportamentos descritos, refletindo as características encontradas.