Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para s_{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}
identificando se ela converge ou diverge e obtendo uma fórmula para a soma parcial s_{n}. O conteúdo aqui é série geométrica infinita.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral no formato padrão de série geométrica:
\frac{2}{5^{n-1}} = 2\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{n-1}.
Portanto o primeiro termo é
a = 2
e a razão é
r = \tfrac{1}{5}.

Passo 3

A fórmula da soma parcial de uma série geométrica com r \neq 1 é
s_{n} = a\,\frac{1 - r^{n}}{1 - r}.
Substituindo a=2 e r=\tfrac{1}{5} temos
s_{n} = 2 \,\frac{1 - \bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{n}}{1 - \tfrac{1}{5}} = 2 \,\frac{1 - 5^{-n}}{\tfrac{4}{5}} = \frac{2\cdot 5}{4}\,\bigl(1 - 5^{-n}\bigr) = \frac{5}{2}\,\bigl(1 - 5^{-n}\bigr).

Passo 4

Como \lvert r\rvert = \tfrac{1}{5}<1, a série converge. O valor do limite das somas parciais é
\lim_{n\to\infty}s_{n} = \frac{5}{2}\,\bigl(1 - 0\bigr) = \frac{5}{2}.

Resposta

A série é convergente e a soma parcial é
s_{n} = \frac{5}{2}\,\bigl(1 - 5^{-n}\bigr),
com soma total
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}} = \frac{5}{2}.

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