R: (a) sem resposta, (b) 3 \mathrm{~m} \times 0,3 \mathrm{~m}, (c) 0,18 \mathrm{kgf}.
4- Deseja-se obter a força de arrasto de pressão (resistência da água) sobre o sonar de um submarino por meio de testes efetuados com um modelo na escala 1:5. Os testes são realizados em água à 20^{\circ} \mathrm{C} e com o submarino a uma velocidade de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e a força de arrasto medida é de 3 kgf . Se o protótipo será utilizado em água à 4^{\circ} \mathrm{C}, pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema, (b) a velocidade do submarino, e (c) a força de arrasto, em condições de semelhança completa. Supor forças gravitacionais desprezíveis comparadas às forças de arrasto de pressão e às forças viscosas. Dados: \mu_{\mathrm{a}}\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)=10^{-4} \mathrm{kgf.s} / \mathrm{m}^{2}, \mu_{\mathrm{a}}\left(4^{\circ} \mathrm{C}\right)=1,58.10^{-4} \mathrm{kgf.s} / \mathrm{m}^{2} e \rho_{\mathrm{a}}=102 \mathrm{utm} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Escala do modelo: 1:5. Ou seja, se L_{\rm p} é um comprimento característico do protótipo e L_{\rm m} do modelo, então \dfrac{L_{\rm m}}{L_{\rm p}}=\dfrac{1}{5}.
    • Testes feitos com o modelo em água a 20^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade do modelo nos ensaios: U_{\rm m}=60\\ \mathrm{km/h}.
    • Força de arrasto medida no modelo: F_{\rm m}=3\\ \mathrm{kgf}.
    • Protótipo será usado em água a 4^\circ\mathrm{C}.
    • Viscosidades dinâmicas dadas:
      • \mu(20^\circ\mathrm{C})=\mu_{\rm m}=10^{-4}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}.
      • \mu(4^\circ\mathrm{C})=\mu_{\rm p}=1{,}58\times10^{-4}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}.
    • Densidade da água indicada: \rho_{\rm a}=102\\ \mathrm{utm/m^{3}} (valor fornecido pelo enunciado).
    • Suposição: forças gravitacionais desprezíveis em relação às forças de arrasto de pressão e viscosas.
  • O enunciado pede:
    (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema;
    (b) determinar a velocidade do submarino (protótipo) para obter semelhança completa;
    (c) determinar a força de arrasto no protótipo em condições de semelhança completa.

Passo 2

Escolha dos adimensionais e por quê (explicação didática).
  • Ideia geral: Para que o comportamento do modelo reproduza o do protótipo (semelhança completa) é preciso que os adimensionais que governam as forças sejam iguais no modelo e no protótipo. O enunciado diz que as forças gravitacionais são desprezíveis frente às forças de arrasto de pressão e às viscosas — isso indica que as forças relevantes são as forças inerciais (que geram pressão dinâmica) e as forças viscosas. O adimensional que compara essas duas é o número de Reynolds.
  • Número de Reynolds:
    Re=\dfrac{\rho U L}{\mu},
    onde:
    • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kgf/m^{3}} ou unidade compatível),
    • U é uma velocidade característica ( \mathrm{m/s}),
    • L é um comprimento característico do corpo ( \mathrm{m}),
    • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}).
      Intuição: Re mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas. Igualar Re entre modelo e protótipo garante que a distribuição entre efeitos inerciais e viscosos seja a mesma.
  • Coeficiente de arrasto (adimensional que relaciona força e pressão dinâmica):
    C_D=\dfrac{F}{\tfrac{1}{2}\,\rho\,U^{2}\,A},
    onde:
    • F é a força de arrasto ( \mathrm{kgf}),
    • A é uma área característica perpendicular à velocidade ( \propto L^{2}).
      Se a geometria e o Re forem iguais, o C_D será (em teoria) o mesmo para modelo e protótipo.
  • Conclusão para (a): os adimensionais apropriados são pelo menos Re e C_D. Não é preciso usar o número de Froude porque forças gravitacionais foram desprezadas.

Passo 3

Converter unidades e definir razões de escala numéricas.
  • Converter velocidade do modelo:
    U_{\rm m}=60\\ \mathrm{km/h} = 60\cdot \dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 16{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
    Para trabalhar com números práticos usarei U_{\rm m}=16{,}6667\\ \mathrm{m/s}.
  • Razões de comprimento:
    \dfrac{L_{\rm m}}{L_{\rm p}}=\dfrac{1}{5},\qquad \dfrac{L_{\rm p}}{L_{\rm m}}=5.
  • Assumo que a densidade da água no modelo e no protótipo é essencialmente a mesma (o enunciado dá uma única \rho_{\rm a}); quando necessário, o fator \rho_{\rm p}/\rho_{\rm m} ficará explícito e aqui vale \approx 1.

Passo 4

Determinar a velocidade do protótipo impondo igualdade dos números de Reynolds.
  • Igualando Re do modelo e do protótipo:
    Re_{\rm m}=Re_{\rm p}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{\rho_{\rm m}\,U_{\rm m}\,L_{\rm m}}{\mu_{\rm m}}=\dfrac{\rho_{\rm p}\,U_{\rm p}\,L_{\rm p}}{\mu_{\rm p}}.
    Como \rho_{\rm m}\approx\rho_{\rm p} (mesmo fluido), \rho cancela:
    \dfrac{U_{\rm m}\,L_{\rm m}}{\mu_{\rm m}}=\dfrac{U_{\rm p}\,L_{\rm p}}{\mu_{\rm p}}.
    Resolvendo para U_{\rm p}:
    U_{\rm p}=U_{\rm m}\,\dfrac{\mu_{\rm p}}{\mu_{\rm m}}\,\dfrac{L_{\rm m}}{L_{\rm p}}.
  • Substituindo os valores:
    \dfrac{\mu_{\rm p}}{\mu_{\rm m}}=\dfrac{1{,}58\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-4}}=1{,}58, \qquad \dfrac{L_{\rm m}}{L_{\rm p}}=\dfrac{1}{5}=0{,}2.
    Portanto
    U_{\rm p}=16{,}6667\cdot 1{,}58\cdot 0{,}2\\ \mathrm{m/s}.
  • Cálculo numérico:
    U_{\rm p}=16{,}6667\cdot 0{,}316 =5{,}2778\\ \mathrm{m/s}.
    Convertendo para \mathrm{km/h}:
    U_{\rm p}=5{,}2778\cdot 3{,}6 =18{,}9999\\ \mathrm{km/h}\approx 19{,}0\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Determinar a força de arrasto no protótipo usando a invariância do coeficiente de arrasto.
  • Se há semelhança completa (mesma geometria e mesmo Re), então C_{D,\rm m}=C_{D,\rm p}. Usando a definição de C_D:
    C_D=\dfrac{F}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2} A},
    temos
    \dfrac{F_{\rm p}}{\tfrac{1}{2}\rho_{\rm p} U_{\rm p}^{2} A_{\rm p}} = \dfrac{F_{\rm m}}{\tfrac{1}{2}\rho_{\rm m} U_{\rm m}^{2} A_{\rm m}}.
    Rearranjando,
    F_{\rm p}=F_{\rm m}\,\dfrac{\rho_{\rm p}}{\rho_{\rm m}}\,\left(\dfrac{U_{\rm p}}{U_{\rm m}}\right)^{2}\,\dfrac{A_{\rm p}}{A_{\rm m}}.
  • A área característica escala como A\propto L^{2}. Logo
    \dfrac{A_{\rm p}}{A_{\rm m}}=\left(\dfrac{L_{\rm p}}{L_{\rm m}}\right)^{2}=5^{2}=25.
  • Admitindo \rho_{\rm p}\approx\rho_{\rm m} (mesma água, densidade praticamente igual), a expressão simplifica para
    F_{\rm p}=F_{\rm m}\,\left(\dfrac{U_{\rm p}}{U_{\rm m}}\right)^{2}\,25.
  • Já calculamos \dfrac{U_{\rm p}}{U_{\rm m}}=0{,}316. Assim
    \left(\dfrac{U_{\rm p}}{U_{\rm m}}\right)^{2}=0{,}316^{2}\approx 0{,}100.
    Portanto
    F_{\rm p}=3\cdot 0{,}100\cdot 25 =3\cdot 2{,}5 =7{,}5\\ \mathrm{kgf}.

Passo 6

Interpretação final e observações (didática e incentivo).
  • Resultado físico: para manter semelhança dinâmica (mesmo balanço entre inércia e viscosidade), o protótipo, sendo maior e estando em água mais viscosa, precisa andar mais devagar que o modelo; como a área frontal cresce com a escala, a força de arrasto do protótipo fica maior do que a medida no modelo, mesmo com velocidade menor.
  • Observação sobre densidade: usei \rho_{\rm p}\approx\rho_{\rm m} porque o enunciado forneceu uma única densidade e a variação de densidade entre 20°C e 4°C é pequena comparada à mudança de viscosidade. Se se quisesse maior precisão, poderia usar valores reais de \rho(20^\circ\mathrm{C}) e \rho(4^\circ\mathrm{C}) e inserir o fator \rho_{\rm p}/\rho_{\rm m} na fórmula de F_{\rm p}.
  • Você mandou bem lendo até aqui — agora já sabe como fazer um problema de escala: identifique os adimensionais relevantes (aqui Re e C_D), iguale-os, converta unidades com cuidado e aplique as leis de escala (comprimento, área, velocidade, força).

Resposta

(a) Re=\dfrac{\rho U L}{\mu} e C_D=\dfrac{F}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2}A} (Froude não é necessário porque gravidade foi desprezada).
(b) U_{\rm p}=5{,}28\\ \mathrm{m/s}\approx 19{,}0\\ \mathrm{km/h}.
(c) F_{\rm p}=7{,}5\\ \mathrm{kgf}.

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