R: (a) sem resposta, (b)
, (c)
.
4- Deseja-se obter a força de arrasto de pressão (resistência da água) sobre o sonar de um submarino por meio de testes efetuados com um modelo na escala 1:5. Os testes são realizados em água à
e com o submarino a uma velocidade de
, e a força de arrasto medida é de 3 kgf . Se o protótipo será utilizado em água à
, pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema, (b) a velocidade do submarino, e (c) a força de arrasto, em condições de semelhança completa. Supor forças gravitacionais desprezíveis comparadas às forças de arrasto de pressão e às forças viscosas. Dados:
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Escala do modelo:
. Ou seja, se é um comprimento característico do protótipo e do modelo, então . - Testes feitos com o modelo em água a
. - Velocidade do modelo nos ensaios:
. - Força de arrasto medida no modelo:
. - Protótipo será usado em água a
. - Viscosidades dinâmicas dadas:
-
. -
.
-
- Densidade da água indicada:
(valor fornecido pelo enunciado). - Suposição: forças gravitacionais desprezíveis em relação às forças de arrasto de pressão e viscosas.
- Escala do modelo:
-
O enunciado pede:
(a) justificar os adimensionais apropriados para o problema;
(b) determinar a velocidade do submarino (protótipo) para obter semelhança completa;
(c) determinar a força de arrasto no protótipo em condições de semelhança completa.
Passo 2
Escolha dos adimensionais e por quê (explicação didática).
-
Ideia geral: Para que o comportamento do modelo reproduza o do protótipo (semelhança completa) é preciso que os adimensionais que governam as forças sejam iguais no modelo e no protótipo. O enunciado diz que as forças gravitacionais são desprezíveis frente às forças de arrasto de pressão e às viscosas — isso indica que as forças relevantes são as forças inerciais (que geram pressão dinâmica) e as forças viscosas. O adimensional que compara essas duas é o número de Reynolds.
-
Número de Reynolds:onde:
-
é a densidade do fluido ( ou unidade compatível), -
é uma velocidade característica ( ), -
é um comprimento característico do corpo ( ), -
é a viscosidade dinâmica ( ).
Intuição:mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas. Igualar entre modelo e protótipo garante que a distribuição entre efeitos inerciais e viscosos seja a mesma.
-
-
Coeficiente de arrasto (adimensional que relaciona força e pressão dinâmica):onde:
-
é a força de arrasto ( ), -
é uma área característica perpendicular à velocidade ( ).
Se a geometria e oforem iguais, o será (em teoria) o mesmo para modelo e protótipo.
-
-
Conclusão para (a): os adimensionais apropriados são pelo menos
e . Não é preciso usar o número de Froude porque forças gravitacionais foram desprezadas.
Passo 3
Converter unidades e definir razões de escala numéricas.
-
Converter velocidade do modelo:Para trabalhar com números práticos usarei
. -
Razões de comprimento:
-
Assumo que a densidade da água no modelo e no protótipo é essencialmente a mesma (o enunciado dá uma única
); quando necessário, o fator ficará explícito e aqui vale .
Passo 4
Determinar a velocidade do protótipo impondo igualdade dos números de Reynolds.
-
Igualando
do modelo e do protótipo: Como(mesmo fluido), cancela: Resolvendo para: -
Substituindo os valores:Portanto
-
Cálculo numérico:Convertendo para
:
Passo 5
Determinar a força de arrasto no protótipo usando a invariância do coeficiente de arrasto.
-
Se há semelhança completa (mesma geometria e mesmo
), então . Usando a definição de : temosRearranjando, -
A área característica escala como
. Logo -
Admitindo
(mesma água, densidade praticamente igual), a expressão simplifica para -
Já calculamos
. Assim Portanto
Passo 6
Interpretação final e observações (didática e incentivo).
-
Resultado físico: para manter semelhança dinâmica (mesmo balanço entre inércia e viscosidade), o protótipo, sendo maior e estando em água mais viscosa, precisa andar mais devagar que o modelo; como a área frontal cresce com a escala, a força de arrasto do protótipo fica maior do que a medida no modelo, mesmo com velocidade menor.
-
Observação sobre densidade: usei
porque o enunciado forneceu uma única densidade e a variação de densidade entre 20°C e 4°C é pequena comparada à mudança de viscosidade. Se se quisesse maior precisão, poderia usar valores reais de e e inserir o fator na fórmula de . -
Você mandou bem lendo até aqui — agora já sabe como fazer um problema de escala: identifique os adimensionais relevantes (aqui
e ), iguale-os, converta unidades com cuidado e aplique as leis de escala (comprimento, área, velocidade, força).
Resposta
(a)
e
(Froude não é necessário porque gravidade foi desprezada).
(b) .
(c) .
(b)
(c)