Resultados experimentais mostram que o equilíbrio líquido-vapor do sistema acetona/acetonitrila é representado satisfatoriamente pela lei de Raoult. As pressões de vapor de cada componente são expressas em função da temperatura pela equação de Antoine na tabela a seguir.
\ln P_{i}^{s a t}(k P a)=A-\frac{B}{C+T\left({ }^{\circ} C\right)}
Componente \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}
Acetona (1) 14,372 2787,49 229,66
Acetonitrila (2) 14,885 3413,09 250,52
Determine:
Para \mathrm{T}=50^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{y}_{1}=0,60; obtenha \mathrm{Pe} \mathrm{x}_{1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • A equação de Antoine fornecida é
\ln P_{i}^{\text{sat}}\\ (\text{kPa}) = A_i - \frac{B_i}{C_i + T\\ (^\circ\mathrm{C})}.
  • Coeficientes (da tabela do enunciado):
    • Acetona (1): A_1=14{,}372,\; B_1=2787{,}49,\; C_1=229{,}66.
    • Acetonitrila (2): A_2=14{,}885,\; B_2=3413{,}09,\; C_2=250{,}52.
  • Temperatura dada: T=50^\circ\mathrm{C}.
  • Fração molar na fase vapor dada: y_1=0{,}60 (ou seja, componente 1 tem 60\% na fase vapor).
  • Suposição do enunciado: o equilíbrio líquido-vapor satisfaz a lei de Raoult (mistura ideal).
  • O enunciado pede: obter a pressão de equilíbrio total P_e e a fração molar na fase líquida x_1 correspondentes às condições acima.

Passo 2

Primeiro calculemos as pressões de vapor de saturação \,P_1^{\text{sat}} e \,P_2^{\text{sat}}\, à temperatura dada usando Antoine. Explico rapidamente a fórmula: \ln P_i^{\text{sat}} é o logaritmo natural da pressão de vapor em kPa; para obter P_i^{\text{sat}} basta exponentiar o resultado.
Para o componente 1 (acetona):
C_1+T = 229{,}66 + 50 = 279{,}66,
\ln P_1^{\text{sat}} = 14{,}372 - \frac{2787{,}49}{279{,}66}.
Calculemos a fração:
\frac{2787{,}49}{279{,}66}\approx 9{,}9674,
portanto
\ln P_1^{\text{sat}} \approx 14{,}372 - 9{,}9674 = 4{,}4046.
Exponentiando:
P_1^{\text{sat}} = e^{4{,}4046} \approx 81{,}76\\ \text{kPa}.
Para o componente 2 (acetonitrila):
C_2+T = 250{,}52 + 50 = 300{,}52,
\ln P_2^{\text{sat}} = 14{,}885 - \frac{3413{,}09}{300{,}52}.
Calculemos a fração:
\frac{3413{,}09}{300{,}52}\approx 11{,}3593,
portanto
\ln P_2^{\text{sat}} \approx 14{,}885 - 11{,}3593 = 3{,}5257.
Exponentiando:
P_2^{\text{sat}} = e^{3{,}5257} \approx 33{,}99\\ \text{kPa}.
Resumo das saturações (valores arredondados):
P_1^{\text{sat}} \approx 81{,}76\\ \text{kPa},\qquad P_2^{\text{sat}} \approx 33{,}99\\ \text{kPa}.

Passo 3

Agora vamos usar a lei de Raoult para relacionar frações molares líquidas e vapor com a pressão total. Vou explicar as definições e as relações:
  • Lei de Raoult (mistura ideal): a pressão parcial do componente i é
p_i = x_i\,P_i^{\text{sat}},
onde x_i é a fração molar do componente i na fase líquida.
  • A fração molar na fase vapor é
y_i = \frac{p_i}{P},
onde P é a pressão total do sistema em equilíbrio.
  • Para o sistema binário ( i=1,2) vale x_1+x_2=1 e y_1+y_2=1.
Juntando as equações para o componente 1:
y_1 = \frac{x_1 P_1^{\text{sat}}}{P}.
Também a pressão total pode ser escrita como
P = x_1 P_1^{\text{sat}} + (1-x_1)P_2^{\text{sat}}.

Passo 4

Agora derivamos uma expressão direta para x_1 em função de y_1,\;P_1^{\text{sat}},\;P_2^{\text{sat}} (é uma manipulação algébrica útil para provas):
Partindo de P = x_1 P_1^{\text{sat}} + (1-x_1)P_2^{\text{sat}} e de P = \dfrac{x_1 P_1^{\text{sat}}}{y_1}, igualando:
\frac{x_1 P_1^{\text{sat}}}{y_1} = x_1 P_1^{\text{sat}} + (1-x_1)P_2^{\text{sat}}.
Multiplicando por y_1 e arrumando termos em x_1:
x_1 P_1^{\text{sat}} = y_1 x_1 P_1^{\text{sat}} + y_1(1-x_1)P_2^{\text{sat}},
x_1\bigl(P_1^{\text{sat}} - y_1 P_1^{\text{sat}} + y_1 P_2^{\text{sat}}\bigr) = y_1 P_2^{\text{sat}}.
Observando que 1-y_1=y_2, simplifica para a forma conhecida:
x_1 = \frac{y_1 P_2^{\text{sat}}}{y_2 P_1^{\text{sat}} + y_1 P_2^{\text{sat}}}.
Essa fórmula é muito prática: dá x_1 diretamente a partir de y_1 e das pressões de saturação.

Passo 5

Agora substituímos os números (lembrando y_1=0{,}60 e y_2=0{,}40):
Numerador:
y_1 P_2^{\text{sat}} = 0{,}60\times 33{,}99 \approx 20{,}394\\ \text{kPa}.
Denominador:
y_2 P_1^{\text{sat}} + y_1 P_2^{\text{sat}} = 0{,}40\times 81{,}76 + 0{,}60\times 33{,}99
\approx 32{,}704 + 20{,}394 = 53{,}098\\ \text{kPa}.
Portanto
x_1 \approx \frac{20{,}394}{53{,}098} \approx 0{,}3842.
Arredondando convenientemente (3 algarismos significativos):
x_1 \approx 0{,}384.

Passo 6

Com x_1 encontrado, determinamos a pressão total de equilíbrio P_e. Podemos usar a fórmula direta
P_e = x_1 P_1^{\text{sat}} + (1-x_1)P_2^{\text{sat}}.
Substituindo:
P_e \approx 0{,}3842\times 81{,}76 + 0{,}6158\times 33{,}99.
Cálculo:
0{,}3842\times 81{,}76 \approx 31{,}42,
0{,}6158\times 33{,}99 \approx 20{,}92,
P_e \approx 31{,}42 + 20{,}92 = 52{,}34\\ \text{kPa}.
Também se obtém o mesmo valor usando P_e = \dfrac{x_1 P_1^{\text{sat}}}{y_1}:
P_e \approx \frac{0{,}3842\times 81{,}76}{0{,}60}\approx \frac{31{,}42}{0{,}60}=52{,}36\\ \text{kPa},
diferenças de arredondamento pequenas. Arredondando:
P_e \approx 52{,}35\\ \text{kPa}.

Resposta

P_e \approx 52{,}35\\ \text{kPa}
x_1 \approx 0{,}384

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