Resultados experimentais mostram que o equilíbrio líquido-vapor do sistema acetona/acetonitrila é representado satisfatoriamente pela lei de Raoult. As pressões de vapor de cada componente são expressas em função da temperatura pela equação de Antoine na tabela a seguir.
Componente
Acetona (1)
14,372
2787,49
229,66
Acetonitrila (2)
14,885
3413,09
250,52
Determine:
Para
e
calcule T e P .
| Componente |
|
|
|
| Acetona (1) | 14,372 | 2787,49 | 229,66 |
| Acetonitrila (2) | 14,885 | 3413,09 | 250,52 |
Para
Passo 1
O enunciado pede: para uma mistura binária acetona (componente 1) / acetonitrila (componente 2), com fração molar na fase líquida
e fração molar na fase vapor
, determinar a temperatura
(em
) e a pressão total
(em kPa) do equilíbrio líquido–vapor.
Informações fornecidas (peguei estes valores da tabela do enunciado):
- Constantes da equação de Antoine (a forma fornecida é
): - Para a acetona (1):
, , . - Para a acetonitrila (2):
, , .
- Para a acetona (1):
- Dados do problema:
e . Portanto e .
O que devemos achar:
e
.
Passo 2
Escrevendo a lei de Raoult para cada componente (essa é a lei que relaciona frações e pressões de vapor das substâncias puras):
onde
-
é a fração molar do componente na fase vapor, -
é a fração molar do componente na fase líquida, -
é a pressão total do sistema, -
é a pressão de vapor do componente puro à temperatura .
Somando para os dois componentes obtém-se a expressão direta para
:
Também, isolando a razão entre
e
a partir das equações de Raoult, obtemos (fazendo álgebra simples):
Essa relação é muito útil porque a razão à direita é conhecida a partir de
e
.
Passo 3
Usamos a equação de Antoine para cada componente:
Da razão
aplicamos logaritmo natural e obtemos (fazendo diferença das duas equações de Antoine):
Essa igualdade deve ser numericamente igual a
da razão que encontramos no Passo 2:
Portanto a equação que devemos resolver para
é
Isso é uma equação não-linear em
; resolve-se numericamente (por tentativa, bisseção, secante, Newton etc.). Vou fazer uma solução numérica manual atendendo à precisão prática de provas (algumas iterações por interpolação).
Passo 4
Calculemos primeiro a razão conhecida do Passo 2 (usando os valores numéricos dados):
Tomando logaritmo natural:
Passo 5
Definimos a função de
:
Queremos
.
Substituindo os
dados:
Agora fazemos avaliações numéricas para localizar a raiz. Avaliando em alguns
:
- Em
:
Logo
.
- Em
:
Observa-se que
e
é praticamente zero (troca de sinal muito próxima), portanto a raiz está muito próxima de
. Usando interpolação linear rápida entre os pontos (ou simplesmente tomando o valor onde
é quase zero) obtemos:
(Se for necessário maior refinamento, repetir a avaliação com métodos numéricos daria um valor com centésimos; para propósito de prova e usando os dados acima,
tem precisão suficiente.)
Passo 6
Com
encontrado, calculamos as pressões de vapor dos puros e a pressão total.
Calcule
e
em
:
Convertendo para pressões (kPa):
Agora a pressão total pela soma ponderada (Lei de Raoult):
Como verificação rápida, o valor de
calculado por
dá
confirmando coerência com o dado inicial.