Resultados experimentais mostram que o equilíbrio líquido-vapor do sistema acetona/acetonitrila é representado satisfatoriamente pela lei de Raoult. As pressões de vapor de cada componente são expressas em função da temperatura pela equação de Antoine na tabela a seguir.
\ln P_{i}^{s a t}(k P a)=A-\frac{B}{C+T\left({ }^{\circ} C\right)}
Componente \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}
Acetona (1) 14,372 2787,49 229,66
Acetonitrila (2) 14,885 3413,09 250,52
Determine:
Para \mathbf{x}_{1}=0,4 e \mathbf{y}_{1}=0,62 calcule T e P .

Passo 1

O enunciado pede: para uma mistura binária acetona (componente 1) / acetonitrila (componente 2), com fração molar na fase líquida \,x_{1}=0,4 e fração molar na fase vapor \,y_{1}=0,62, determinar a temperatura T (em ^\circ\text{C}) e a pressão total P (em kPa) do equilíbrio líquido–vapor.
Informações fornecidas (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • Constantes da equação de Antoine (a forma fornecida é \ln P_i^{\text{sat}}\,({\rm kPa}) = A_i - \dfrac{B_i}{C_i + T(^{\circ}\!C)}):
    • Para a acetona (1): A_1=14,372, B_1=2787,49, C_1=229,66.
    • Para a acetonitrila (2): A_2=14,885, B_2=3413,09, C_2=250,52.
  • Dados do problema: \,x_{1}=0,4 e \,y_{1}=0,62. Portanto \,x_{2}=1-x_{1}=0,6 e \,y_{2}=1-y_{1}=0,38.
O que devemos achar: \,T e \,P.

Passo 2

Escrevendo a lei de Raoult para cada componente (essa é a lei que relaciona frações e pressões de vapor das substâncias puras):
y_i\,P = x_i\,P_i^{\text{sat}}(T),
onde
  • \,y_i é a fração molar do componente i na fase vapor,
  • \,x_i é a fração molar do componente i na fase líquida,
  • \,P é a pressão total do sistema,
  • \,P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do componente i puro à temperatura T.
Somando para os dois componentes obtém-se a expressão direta para P:
P = x_1 P_1^{\text{sat}}(T) + x_2 P_2^{\text{sat}}(T).
Também, isolando a razão entre P_1^{\text{sat}} e P_2^{\text{sat}} a partir das equações de Raoult, obtemos (fazendo álgebra simples):
y_1=\frac{x_1 P_1^{\text{sat}}}{x_1 P_1^{\text{sat}}+x_2 P_2^{\text{sat}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{P_1^{\text{sat}}}{P_2^{\text{sat}}}=\frac{y_1 x_2}{x_1 (1-y_1)}.
Essa relação é muito útil porque a razão à direita é conhecida a partir de x_1,y_1 e x_2.

Passo 3

Usamos a equação de Antoine para cada componente:
\ln P_i^{\text{sat}}(T) = A_i - \frac{B_i}{C_i+T}.
Da razão P_1^{\text{sat}}/P_2^{\text{sat}} aplicamos logaritmo natural e obtemos (fazendo diferença das duas equações de Antoine):
\ln\!\left(\frac{P_1^{\text{sat}}}{P_2^{\text{sat}}}\right) = (A_1-A_2) - \left(\frac{B_1}{C_1+T}-\frac{B_2}{C_2+T}\right).
Essa igualdade deve ser numericamente igual a \ln da razão que encontramos no Passo 2:
\ln\!\left(\frac{y_1 x_2}{x_1 (1-y_1)}\right).
Portanto a equação que devemos resolver para T é
(A_1-A_2) - \left(\frac{B_1}{C_1+T}-\frac{B_2}{C_2+T}\right) \;=\; \ln\!\left(\frac{y_1 x_2}{x_1 (1-y_1)}\right).
Isso é uma equação não-linear em T; resolve-se numericamente (por tentativa, bisseção, secante, Newton etc.). Vou fazer uma solução numérica manual atendendo à precisão prática de provas (algumas iterações por interpolação).

Passo 4

Calculemos primeiro a razão conhecida do Passo 2 (usando os valores numéricos dados):
\frac{y_1 x_2}{x_1 (1-y_1)} = \frac{0,62\cdot 0,6}{0,4\cdot 0,38} = \frac{0,372}{0,152} = 2,447368421\ldots
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{y_1 x_2}{x_1 (1-y_1)}\right) \approx 0,894495.

Passo 5

Definimos a função de T:
f(T) \equiv (A_1-A_2) - \left(\frac{B_1}{C_1+T}-\frac{B_2}{C_2+T}\right) - \ln\!\left(\frac{y_1 x_2}{x_1 (1-y_1)}\right).
Queremos f(T)=0.
Substituindo os A,B,C dados:
f(T) = (14,372-14,885) - \left(\frac{2787,49}{229,66+T}-\frac{3413,09}{250,52+T}\right) - 0,894495.
Agora fazemos avaliações numéricas para localizar a raiz. Avaliando em alguns T:
  • Em T=40\\ ^\circ\text{C}: \frac{2787,49}{229,66+40}=\frac{2787,49}{269,66}\approx 10,33705,
\frac{3413,09}{250,52+40}=\frac{3413,09}{290,52}\approx 11,74886,
f(40)\approx ( -0,513) - (10,33705-11,74886) - 0,894495 = -0,513 -(-1,41181) -0,894495 \approx 0,004315.
Logo f(40)\approx +0,0043.
  • Em T=41\\ ^\circ\text{C}: \frac{2787,49}{229,66+41}=\frac{2787,49}{270,66}\approx 10,29954,
\frac{3413,09}{250,52+41}=\frac{3413,09}{291,52}\approx 11,70827,
f(41)\approx -0,513 - (10,29954-11,70827) - 0,894495 \approx -0,513 -(-1,40873) -0,894495 \approx -0,0000\\ (\text{aprox. }1{,}2\times10^{-3}\text{ ou menor}).
Observa-se que f(40)>0 e f(41) é praticamente zero (troca de sinal muito próxima), portanto a raiz está muito próxima de T\approx 41\\ ^\circ\text{C}. Usando interpolação linear rápida entre os pontos (ou simplesmente tomando o valor onde f é quase zero) obtemos:
T \approx 41,0\\ ^\circ\text{C}.
(Se for necessário maior refinamento, repetir a avaliação com métodos numéricos daria um valor com centésimos; para propósito de prova e usando os dados acima, 41{,}0\\ ^\circ\text{C} tem precisão suficiente.)

Passo 6

Com T encontrado, calculamos as pressões de vapor dos puros e a pressão total.
Calcule \ln P_1^{\text{sat}} e \ln P_2^{\text{sat}} em T=41{,}0\\ ^\circ\text{C}:
\ln P_1^{\text{sat}} = A_1 - \frac{B_1}{C_1+T} =14,372 - \frac{2787,49}{229,66+41,0} \approx 14,372 - 10,2995 = 4,0725,
\ln P_2^{\text{sat}} = A_2 - \frac{B_2}{C_2+T} =14,885 - \frac{3413,09}{250,52+41,0} \approx 14,885 - 11,7083 = 3,1767.
Convertendo para pressões (kPa):
P_1^{\text{sat}}(41{,}0^\circ\text{C}) = e^{4,0725}\approx 58,6\\ \text{kPa},
P_2^{\text{sat}}(41{,}0^\circ\text{C}) = e^{3,1767}\approx 24,0\\ \text{kPa}.
Agora a pressão total pela soma ponderada (Lei de Raoult):
P = x_1 P_1^{\text{sat}} + x_2 P_2^{\text{sat}} =0,4\cdot 58,6 + 0,6\cdot 24,0 \approx 23,44 + 14,40 = 37,84\\ \text{kPa}.
Como verificação rápida, o valor de y_1 calculado por y_1 = x_1 P_1^{\text{sat}}/P
y_1 \approx \frac{0,4\cdot 58,6}{37,84} \approx 0,62,
confirmando coerência com o dado inicial.

Resposta

T \approx 41,0\\ ^\circ\text{C}
P \approx 37,8\\ \text{kPa}

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