Resultados experimentais mostram que o equilíbrio líquido-vapor do sistema acetona/acetonitrila é representado satisfatoriamente pela lei de Raoult. As pressões de vapor de cada componente são expressas em função da temperatura pela equação de Antoine na tabela a seguir.
Componente
Acetona (1)
14,372
2787,49
229,66
Acetonitrila (2)
14,885
3413,09
250,52
Determine:
Para
e
obtenha
.
| Componente |
|
|
|
| Acetona (1) | 14,372 | 2787,49 | 229,66 |
| Acetonitrila (2) | 14,885 | 3413,09 | 250,52 |
Para
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Pedido: determinar a temperatura de equilíbrio
(em ) e a fração molar na fase líquida do componente 1 (acetona), , para as condições de equilíbrio informado. - Dados fornecidos:
- Pressão total do sistema:
. - Fração molar na fase vapor do componente 1:
. Logo . - Lei de Raoult (adotada pelo enunciado) relaciona pressões de vapor e frações molares (ver passos seguintes).
- Equação de Antoine (fornecida) para cada componente:
com os parâmetros (peguei estes números da tabela do enunciado): - Componente 1 (Acetona):
, , . - Componente 2 (Acetonitrila):
, , .
- Componente 1 (Acetona):
- Pressão total do sistema:
- Incógnitas:
e .
Passo 2
Princípios e equações que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Raoult (explicação): para uma mistura ideal líquido-vapor em equilíbrio, a pressão parcial de cada componente é dada por
onde -
é a pressão parcial do componente (kPa), -
é a fração molar do componente na fase líquida (adimensional), -
é a pressão de vapor do componente puro à temperatura (kPa).
-
- Relação com frações na fase vapor (explicação): a fração molar na fase vapor é
onde é a pressão total (aqui ). - Conservação de frações líquidas: como é sistema binário,
- Eliminar
para obter equação somente em função de (passo-chave): isolando em obtém-se Como a soma das é 1, temos a equação escalar procurada: Esta é uma equação em (pois dependem de pela equação de Antoine). - Equação de Antoine (relembrando): para cada componente
onde é a função exponencial natural e está em . Todas as pressões estão em conforme o enunciado.
Passo 3
Montar explicitamente a equação a resolver (substituindo Antoine na equação da mistura).
- Substituindo
e na condição de soma das , - Para facilitar a notação defino a função
e precisamos encontrar tal que .
Passo 4
Escolha do método numérico para resolver
e estratégia prática (explicação).
- Escolha do método: como temos apenas uma incógnita e a função é contínua em
, o método da bisseção (ou interpolação linear entre pontos) é simples, robusto e suficiente aqui. Não é preciso usar derivadas; vamos localizar um intervalo onde muda de sinal e reduzir até obter a precisão desejada. - Valores iniciais: testar alguns
razoáveis (entre 0 e 100 ) para achar intervalo onde muda de sinal. Vou calcular com a equação de Antoine e em seguida .
Passo 5
Avaliação inicial em alguns pontos (cálculos mostrados passo a passo; peguei constantes da tabela).
- Primeiro avalio em
:
Então
Conclusão:
.
- Avaliação em
:
Conclusão:
.
- Como
e , existe pelo menos uma raiz em .
Passo 6
Refinar por bisseção/interpolação para localizar a raiz com precisão prática.
- Testes intermediários:
- Em
:
- Em
- Em
:
- Em
:
- Observação: em
temos e em temos . Logo a raiz está em . - Interpolação linear aproximada para uma estimativa inicial da raiz:
Esta interpolação dá uma boa aproximação porque varia quase linearmente no intervalo pequeno.
Passo 7
Avaliação final em
e cálculo de
.
- Calcular as pressões de saturação (usando os parâmetros de Antoine e
; peguei os parâmetros da tabela):
(estes valores estão arredondados com precisão compatível à interpolação anterior; os números foram obtidos usando a fórmula de Antoine com os
do enunciado).
- Verificação rápida: calcular
ou seja, praticamente zero (boa confirmação numérica). - Agora calcular
usando :
Passo 8
Interpretação e verificação rápida (ânimo: está tudo coerente).
- Resultado razoável:
entre e era de esperar, porque as pressões de vapor dos dois componentes aumentam com até que a soma das frações líquidas seja 1. O valor encontrado satisfaz a equação de equilíbrio dentro de arredondamento. - Você pode, se quiser, refinar mais a casa decimal repetindo o procedimento (por exemplo bisseção com mais iterações ou Newton se confortável), mas para a maioria de provas 2 casas decimais em temperatura e 3 algarismos em
são suficientes.