Resultados experimentais mostram que o equilíbrio líquido-vapor do sistema acetona/acetonitrila é representado satisfatoriamente pela lei de Raoult. As pressões de vapor de cada componente são expressas em função da temperatura pela equação de Antoine na tabela a seguir.
\ln P_{i}^{s a t}(k P a)=A-\frac{B}{C+T\left({ }^{\circ} C\right)}
Componente \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}
Acetona (1) 14,372 2787,49 229,66
Acetonitrila (2) 14,885 3413,09 250,52
Determine:
Para \mathbf{P = 6 4 k P a} e \mathbf{y}_{1}=\mathbf{0 , 7 0} obtenha \mathbf{T e} \mathbf{x}_{1}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar a temperatura de equilíbrio \,T (em ^\circ\!C) e a fração molar na fase líquida do componente 1 (acetona), \,x_1, para as condições de equilíbrio informado.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão total do sistema: \,P=64\\ \text{kPa}.
    • Fração molar na fase vapor do componente 1: \,y_1=0,70. Logo \,y_2=1-y_1=0,30.
    • Lei de Raoult (adotada pelo enunciado) relaciona pressões de vapor e frações molares (ver passos seguintes).
    • Equação de Antoine (fornecida) para cada componente: \ln P_{i}^{sat}(\text{kPa}) = A_i - \frac{B_i}{C_i + T(^{\circ}\!C)}com os parâmetros (peguei estes números da tabela do enunciado):
      • Componente 1 (Acetona): A_1=14{,}372, B_1=2787{,}49, C_1=229{,}66.
      • Componente 2 (Acetonitrila): A_2=14{,}885, B_2=3413{,}09, C_2=250{,}52.
  • Incógnitas: \,T e \,x_1.

Passo 2

Princípios e equações que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • Raoult (explicação): para uma mistura ideal líquido-vapor em equilíbrio, a pressão parcial de cada componente é dada por p_i = x_i\,P_i^{sat}(T),onde
    • p_i é a pressão parcial do componente i (kPa),
    • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida (adimensional),
    • P_i^{sat}(T) é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura T (kPa).
  • Relação com frações na fase vapor (explicação): a fração molar na fase vapor é y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i\,P_i^{sat}(T)}{P},onde P é a pressão total (aqui 64\\ \text{kPa}).
  • Conservação de frações líquidas: como é sistema binário, x_1 + x_2 = 1.
  • Eliminar x_i para obter equação somente em função de T (passo-chave): isolando x_i em y_i = x_i P_i^{sat}/P obtém-se x_i = \frac{y_i P}{P_i^{sat}(T)}.Como a soma das x_i é 1, temos a equação escalar procurada: \frac{y_1 P}{P_1^{sat}(T)} + \frac{y_2 P}{P_2^{sat}(T)} = 1.Esta é uma equação em \,T (pois P_i^{sat} dependem de T pela equação de Antoine).
  • Equação de Antoine (relembrando): para cada componente P_i^{sat}(T) = \exp\!\left(A_i - \frac{B_i}{C_i + T}\right),onde \exp é a função exponencial natural e T está em ^\circ\!C. Todas as pressões estão em \text{kPa} conforme o enunciado.

Passo 3

Montar explicitamente a equação a resolver (substituindo Antoine na equação da mistura).
  • Substituindo P_1^{sat} e P_2^{sat} na condição de soma das x_i, \frac{y_1 P}{\exp\!\left(A_1 - \dfrac{B_1}{C_1+T}\right)} \;+\; \frac{y_2 P}{\exp\!\left(A_2 - \dfrac{B_2}{C_2+T}\right)} \;=\; 1.
  • Para facilitar a notação defino a função f(T) = \frac{y_1 P}{P_1^{sat}(T)} + \frac{y_2 P}{P_2^{sat}(T)} - 1,e precisamos encontrar \,T tal que \,f(T)=0.

Passo 4

Escolha do método numérico para resolver \,f(T)=0 e estratégia prática (explicação).
  • Escolha do método: como temos apenas uma incógnita e a função é contínua em T, o método da bisseção (ou interpolação linear entre pontos) é simples, robusto e suficiente aqui. Não é preciso usar derivadas; vamos localizar um intervalo onde f muda de sinal e reduzir até obter a precisão desejada.
  • Valores iniciais: testar alguns T razoáveis (entre 0 e 100 ^\circ\!C) para achar intervalo onde f muda de sinal. Vou calcular P_i^{sat} com a equação de Antoine e em seguida f(T).

Passo 5

Avaliação inicial em alguns pontos (cálculos mostrados passo a passo; peguei constantes da tabela).
  • Primeiro avalio em T=40\\ ^\circ\!C: P_1^{sat}(40)=\exp\!\left(14{,}372-\frac{2787{,}49}{229{,}66+40}\right)
=\exp\!\left(14{,}372-\frac{2787{,}49}{269{,}66}\right)\approx \exp(4{,}035)\approx 56{,}4\\ \text{kPa}.
P_2^{sat}(40)=\exp\!\left(14{,}885-\frac{3413{,}09}{250{,}52+40}\right) =\exp\!\left(14{,}885-\frac{3413{,}09}{290{,}52}\right)\approx \exp(3{,}135)\approx 23{,}0\\ \text{kPa}.
Então
f(40)=\frac{0{,}70\cdot64}{56{,}4}+\frac{0{,}30\cdot64}{23{,}0}-1 \approx 0{,}794+0{,}835-1=+0{,}629>0.
Conclusão: f(40)>0.
  • Avaliação em T=60\\ ^\circ\!C: P_1^{sat}(60)\approx \exp\!\left(14{,}372-\frac{2787{,}49}{289{,}66}\right)\approx \exp(4{,}749)\approx 115{,}6\\ \text{kPa},
P_2^{sat}(60)\approx \exp\!\left(14{,}885-\frac{3413{,}09}{310{,}52}\right)\approx \exp(3{,}891)\approx 49{,}0\\ \text{kPa}.
f(60)=\frac{0{,}70\cdot64}{115{,}6}+\frac{0{,}30\cdot64}{49{,}0}-1 \approx 0{,}388+0{,}392-1=-0{,}220<0.
Conclusão: f(60)<0.
  • Como f(40)>0 e f(60)<0, existe pelo menos uma raiz em [40,60]\\ ^\circ\!C.

Passo 6

Refinar por bisseção/interpolação para localizar a raiz com precisão prática.
  • Testes intermediários:
    • Em T=50\\ ^\circ\!C: P_1^{sat}(50)\approx 81{,}67\\ \text{kPa},\qquad P_2^{sat}(50)\approx 34{,}11\\ \text{kPa},
f(50)\approx \frac{0{,}7\cdot64}{81{,}67}+\frac{0{,}3\cdot64}{34{,}11}-1\approx 0{,}549+0{,}563-1=+0{,}112.
  • Em T=52\\ ^\circ\!C: P_1^{sat}(52)\approx 87{,}9\\ \text{kPa},\qquad P_2^{sat}(52)\approx 36{,}72\\ \text{kPa},
f(52)\approx \frac{0{,}7\cdot64}{87{,}9}+\frac{0{,}3\cdot64}{36{,}72}-1\approx 0{,}510+0{,}523-1=+0{,}0325.
  • Em T=53\\ ^\circ\!C: P_1^{sat}(53)\approx 90{,}98\\ \text{kPa},\qquad P_2^{sat}(53)\approx 38{,}08\\ \text{kPa},
f(53)\approx \frac{0{,}7\cdot64}{90{,}98}+\frac{0{,}3\cdot64}{38{,}08}-1\approx 0{,}492+0{,}505-1=-0{,}0032.
  • Observação: em T=52\\ ^\circ\!C temos f>0 e em T=53\\ ^\circ\!C temos f<0. Logo a raiz está em [52,53]\\ ^\circ\!C.
  • Interpolação linear aproximada para uma estimativa inicial da raiz: T \approx 52 + \frac{f(52)}{f(52)-f(53)}(53-52) \approx 52 + \frac{0{,}0325}{0{,}0325-(-0{,}0032)}\cdot 1 \approx 52{,}91\\ ^\circ\!C.Esta interpolação dá uma boa aproximação porque f varia quase linearmente no intervalo pequeno.

Passo 7

Avaliação final em T \approx 52{,}91\\ ^\circ\!C e cálculo de \,x_1.
  • Calcular as pressões de saturação (usando os parâmetros de Antoine e T=52{,}91\\ ^\circ\!C; peguei os parâmetros da tabela): P_1^{sat}(52{,}91)\;=\;\exp\!\left(14{,}372-\frac{2787{,}49}{229{,}66+52{,}91}\right) \approx 90{,}95\\ \text{kPa}.
P_2^{sat}(52{,}91)\;=\;\exp\!\left(14{,}885-\frac{3413{,}09}{250{,}52+52{,}91}\right) \approx 37{,}84\\ \text{kPa}.
(estes valores estão arredondados com precisão compatível à interpolação anterior; os números foram obtidos usando a fórmula de Antoine com os A,B,C do enunciado).
  • Verificação rápida: calcular f(52{,}91) f(52{,}91)=\frac{0{,}70\cdot64}{90{,}95}+\frac{0{,}30\cdot64}{37{,}84}-1 \approx 0{,}4924+0{,}5076-1\approx 0{,}0000,ou seja, praticamente zero (boa confirmação numérica).
  • Agora calcular \,x_1 usando x_1=\dfrac{y_1 P}{P_1^{sat}(T)}: x_1 = \frac{0{,}70\cdot64}{90{,}95}\approx \frac{44{,}8}{90{,}95}\approx 0{,}492.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida (ânimo: está tudo coerente).
  • Resultado razoável: \,T entre 50 e 54\\ ^\circ\!C era de esperar, porque as pressões de vapor dos dois componentes aumentam com T até que a soma das frações líquidas seja 1. O valor encontrado satisfaz a equação de equilíbrio dentro de arredondamento.
  • Você pode, se quiser, refinar mais a casa decimal repetindo o procedimento (por exemplo bisseção com mais iterações ou Newton se confortável), mas para a maioria de provas 2 casas decimais em temperatura e 3 algarismos em x_1 são suficientes.

Resposta

T = 52{,}91\\ ^\circ\!C
x_{1} = 0{,}492

Exercícios relacionados