Uma roda de um giroscópio com 2,83 cm de raio é acelerada a partir do repouso a
até atingir uma velocidade angular de
. (a) Qual é a aceleração tangencial de um ponto da borda da roda durante o processo de aceleração angular? (b) Qual é a aceleração radial do ponto quando a roda está girando à velocidade máxima? (c) Qual é a distância percorrida por um ponto da borda da roda durante o processo de aceleração angular?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
- Raio da roda:
. - Aceleração angular constante:
. - A velocidade angular final dada em rotações por minuto:
. - Partiu do repouso, ou seja velocidade angular inicial
.
O enunciado pede:
(a) a aceleração tangencial de um ponto da borda durante a aceleração angular;
(b) a aceleração radial (centrípeta) desse ponto quando a roda atinge a velocidade máxima;
(c) a distância percorrida por um ponto da borda durante o processo de aceleração angular.
(a) a aceleração tangencial de um ponto da borda durante a aceleração angular;
(b) a aceleração radial (centrípeta) desse ponto quando a roda atinge a velocidade máxima;
(c) a distância percorrida por um ponto da borda durante o processo de aceleração angular.
Passo 2
Primeiro colocar tudo em unidades SI e calcular a velocidade angular final em
.
Converter o raio de centímetros para metros:
Converter a velocidade angular final de
para
. Tem-se
e
. Então
Passo 3
(a) Aceleração tangencial: conceito e fórmula.
Explicação didática: a aceleração tangencial
de um ponto numa borda está ligada à aceleração angular
pela relação
onde
é a aceleração angular em
e
é o raio em metros. Essa fórmula vem do fato de que a velocidade linear tangencial
é
; derivando em relação ao tempo obtém-se
.
Agora calcular numericamente:
Faço a conta detalhada:
Assim
Passo 4
(b) Aceleração radial (centrípeta) na velocidade máxima: conceito e cálculo.
Explicação didática: para movimento circular uniforme a aceleração dirigida ao centro (centrípeta) tem magnitude
Como
, isto se transforma em
onde
é a velocidade angular em
e
o raio em metros.
Usando
e
:
Cálculo numérico (mostrando passos):
Arredondando com sentido prático,
Passo 5
(c) Distância percorrida por um ponto da borda durante a aceleração angular: fórmula e cálculo.
Explicação didática: na cinemática rotacional, a relação análoga a
é
onde
é o deslocamento angular (em radianos). Aqui
, logo
A distância linear (arco) percorrida pela borda é
Calcular passo a passo: já temos
e
, portanto
Agora o comprimento do arco:
Comentário extra (cheque rápido): em número de voltas isso corresponde a
ou seja, durante a aceleração o ponto dá cerca de
voltas — isso justifica o valor grande de
.
Passo 6
Resumo dos resultados com arredondamentos apropriados (mantendo consistência de algarismos significativos) e pequeno incentivo: fizemos a conversão cuidadosa de unidades e aplicamos as fórmulas rotacionais fundamentais; dá pra levar esse raciocínio direto pra prova — respire fundo, passo a passo e já era!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)