Uma roda de um giroscópio com 2,83 cm de raio é acelerada a partir do repouso a 14,2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} até atingir uma velocidade angular de 2760 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. (a) Qual é a aceleração tangencial de um ponto da borda da roda durante o processo de aceleração angular? (b) Qual é a aceleração radial do ponto quando a roda está girando à velocidade máxima? (c) Qual é a distância percorrida por um ponto da borda da roda durante o processo de aceleração angular?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Raio da roda: r=2{,}83\\ \text{cm}.
  • Aceleração angular constante: \alpha=14{,}2\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • A velocidade angular final dada em rotações por minuto: 2760\\ \mathrm{rev/min}.
  • Partiu do repouso, ou seja velocidade angular inicial \omega_i=0.
O enunciado pede:
(a) a aceleração tangencial de um ponto da borda durante a aceleração angular;
(b) a aceleração radial (centrípeta) desse ponto quando a roda atinge a velocidade máxima;
(c) a distância percorrida por um ponto da borda durante o processo de aceleração angular.

Passo 2

Primeiro colocar tudo em unidades SI e calcular a velocidade angular final em \mathrm{rad/s}.
Converter o raio de centímetros para metros:
r = 2{,}83\\ \text{cm} = 0{,}0283\\ \mathrm{m}.
Converter a velocidade angular final de \mathrm{rev/min} para \mathrm{rad/s}. Tem-se 1\\ \mathrm{rev}=2\pi\\ \mathrm{rad} e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}. Então
\omega_f = 2760\\ \mathrm{rev/min} = \left(\frac{2760}{60}\right)\\ \mathrm{rev/s}=46\\ \mathrm{rev/s},
\omega_f = 46\cdot 2\pi = 92\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 289{,}03\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

(a) Aceleração tangencial: conceito e fórmula.
Explicação didática: a aceleração tangencial a_t de um ponto numa borda está ligada à aceleração angular \alpha pela relação
a_t = \alpha\, r,
onde \alpha é a aceleração angular em \mathrm{rad/s^{2}} e r é o raio em metros. Essa fórmula vem do fato de que a velocidade linear tangencial v é v=\omega r; derivando em relação ao tempo obtém-se a_t = \dot v = \dot\omega\, r = \alpha r.
Agora calcular numericamente:
a_t = \alpha\, r = 14{,}2\\ \mathrm{rad/s^{2}}\times 0{,}0283\\ \mathrm{m}.
Faço a conta detalhada:
14{,}2\times 0{,}0283 = 14{,}2\times 28{,}3\times 10^{-3} = 401{,}86\times 10^{-3}=0{,}40186.
Assim
a_t \approx 0{,}4019\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 0{,}402\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

(b) Aceleração radial (centrípeta) na velocidade máxima: conceito e cálculo.
Explicação didática: para movimento circular uniforme a aceleração dirigida ao centro (centrípeta) tem magnitude
a_r = \frac{v^{2}}{r}.
Como v=\omega r, isto se transforma em
a_r = \omega^{2} r,
onde \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s} e r o raio em metros.
Usando \omega_f=92\pi\\ \mathrm{rad/s} e r=0{,}0283\\ \mathrm{m}:
a_r = \omega_f^{2}\, r = (92\pi)^{2}\times 0{,}0283\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Cálculo numérico (mostrando passos):
(92\pi)^{2}=92^{2}\pi^{2}=8464\pi^{2}\approx 8464\times 9{,}8696\approx 83536{,}03,
a_r \approx 83536{,}03\times 0{,}0283 \approx 2364{,}07\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando com sentido prático,
a_r \approx 2{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ (\text{ou }2364\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 5

(c) Distância percorrida por um ponto da borda durante a aceleração angular: fórmula e cálculo.
Explicação didática: na cinemática rotacional, a relação análoga a v^{2}=v_{0}^{2}+2 a \Delta x é
\omega_{f}^{2}=\omega_{i}^{2}+2\alpha\,\theta,
onde \theta é o deslocamento angular (em radianos). Aqui \omega_i=0, logo
\theta = \frac{\omega_{f}^{2}}{2\alpha}.
A distância linear (arco) percorrida pela borda é
s = r\,\theta = r\frac{\omega_{f}^{2}}{2\alpha}.
Calcular passo a passo: já temos \omega_{f}^{2}\approx 83536{,}03\\ \mathrm{(rad/s)^{2}} e \alpha=14{,}2\\ \mathrm{rad/s^{2}}, portanto
\theta = \frac{83536{,}03}{2\times 14{,}2}=\frac{83536{,}03}{28{,}4}\approx 2941{,}41\\ \text{rad}.
Agora o comprimento do arco:
s = r\,\theta = 0{,}0283\times 2941{,}41 \approx 83{,}24\\ \mathrm{m}.
Comentário extra (cheque rápido): em número de voltas isso corresponde a
\text{voltas}=\frac{\theta}{2\pi}\approx\frac{2941{,}41}{2\pi}\approx 468{,}2\\ \text{voltas},
ou seja, durante a aceleração o ponto dá cerca de 468 voltas — isso justifica o valor grande de s.

Passo 6

Resumo dos resultados com arredondamentos apropriados (mantendo consistência de algarismos significativos) e pequeno incentivo: fizemos a conversão cuidadosa de unidades e aplicamos as fórmulas rotacionais fundamentais; dá pra levar esse raciocínio direto pra prova — respire fundo, passo a passo e já era!

Resposta

(a) a_t \approx 0{,}402\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) a_r \approx 2{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) s \approx 83{,}24\\ \mathrm{m}