Uma roda parte do repouso com aceleração angular constante de 3,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. Calcule a velocidade angular final ( \omega ) e o deslocamento angular (θ) após 10 segundos de movimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • velocidade angular inicial: \omega_0 = 0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} (parte do repouso).
  • aceleração angular constante: \alpha = 3,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2.
  • intervalo de tempo: t = 10\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
  • calcular a velocidade angular final \omega após 10\\ \mathrm{s};
  • calcular o deslocamento angular \theta (ângulo girado) após 10\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Fórmula para a velocidade angular com aceleração angular constante.
Conceito rápido: a aceleração angular \alpha é a taxa de variação da velocidade angular no tempo, isto é
\alpha = \frac{d\omega}{dt}.
Integrando ambos os lados no intervalo de 0 a t (para aceleração constante) obtemos a equação cinemática angular
\omega = \omega_0 + \alpha t.
Explicando as variáveis:
  • \omega é a velocidade angular no tempo t.
  • \omega_0 é a velocidade angular inicial.
  • \alpha é a aceleração angular constante.
  • t é o intervalo de tempo decorrido.
Essa fórmula é análoga à fórmula linear v=v_0+at, só que em rotações.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \omega com os números do enunciado:
\omega = \omega_0 + \alpha t.
Substituindo \omega_0=0, \alpha=3,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2 e t=10\\ \mathrm{s}:
\omega = 0 + 3,0\cdot 10.
Calcule passo a passo:
3,0\cdot 10 = 30.
Portanto
\omega = 30\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.

Passo 4

Fórmula para o deslocamento angular \theta com aceleração angular constante.
Conceito rápido: velocidade angular é a taxa de variação do deslocamento angular,
\omega = \frac{d\theta}{dt}.
Para aceleração angular constante temos \omega(t)=\omega_0+\alpha t. Integrando \omega=\frac{d\theta}{dt} de 0 a t obtemos a equação cinemática angular para o deslocamento:
\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2.
Explicando as variáveis:
  • \theta é o deslocamento angular após tempo t.
  • \theta_0 é o deslocamento angular inicial (ângulo inicial).
  • Os outros já foram definidos antes.
Normalmente, se não for dado, assume-se \theta_0=0 (começa a contar o ângulo a partir de zero).

Passo 5

Calcular \theta numericamente usando \theta_0=0, \omega_0=0, \alpha=3,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2 e t=10\\ \mathrm{s}:
\theta = 0 + 0\cdot 10 + \frac{1}{2}\cdot 3,0 \cdot 10^2.
Calcule passo a passo:
10^2 = 100, \qquad \frac{1}{2}\cdot 3,0 = 1,5, \qquad 1,5\cdot 100 = 150.
Portanto
\theta = 150\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (para motivar e fixar): \omega cresceu linearmente até 30\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} em 10\\ \mathrm{s}. O ângulo 150\\ \mathrm{rad} é grande em radianos; em voltas completas isso corresponde a
\frac{150}{2\pi} \approx 23,9\\ \text{voltas},
ou seja, aproximadamente 24 voltas completas — só para ter uma ideia física do que representam 150\\ \mathrm{rad}.

Resposta

\omega = 30\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}
\theta = 150\\ \mathrm{rad}