As rodas de uma bicicleta possuem raio igual a 0,5 \mathrm{~m} e giram com velocidade angular igual a 5,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual a distância percorrida, em metros, por essa bicicleta num intervalo de tempo de 10 segundos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • raio da roda: r = 0,5\\ \mathrm{m}.
    • velocidade angular: \omega = 5,0\\ \mathrm{rad/s}.
    • intervalo de tempo: t = 10\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta:
    • Qual a distância percorrida pela bicicleta, em metros, no intervalo t = 10\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e intuitiva).
  • A roda descreve um movimento circular: cada ponto da borda da roda descreve um arco à medida que a roda gira.
  • O comprimento do arco percorrido por um ponto da borda é dado pela fórmula do arco:
s = r\theta,
onde:
  • s é a distância linear (comprimento do arco) percorrida por um ponto da borda, em metros;
  • r é o raio da roda, em metros;
  • \theta é o ângulo varrido, em radianos.
  • A velocidade angular \omega é a taxa de variação do ângulo:
\omega = \frac{d\theta}{dt},
onde:
  • \omega é em \mathrm{rad/s};
  • t é o tempo, em segundos.
  • A velocidade linear (na borda da roda), que é a velocidade com que a bicicleta avança, relaciona-se com a velocidade angular por:
v = \omega r.
Isto vem de derivar s = r\theta em relação ao tempo: v = \dfrac{ds}{dt} = r\,\dfrac{d\theta}{dt} = r\omega.

Passo 3

Calcular a velocidade linear v da bicicleta usando v = \omega r.
v = \omega r
Substituindo os valores dados:
v = 5,0\cdot 0,5 = 2,5\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: isso significa que a bicicleta se desloca a 2,5 metros por segundo.

Passo 4

Calcular a distância total s percorrida no tempo t usando s = v t.
s = v t
Substituindo v = 2,5\\ \mathrm{m/s} e t = 10\\ \mathrm{s}:
s = 2,5\cdot 10 = 25\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma resposta por outro caminho — útil para checar erros).
  • Calcular o ângulo total varrido: \theta = \omega t.
\theta = 5,0\cdot 10 = 50\\ \mathrm{rad}.
  • Usar s = r\theta:
s = 0,5\cdot 50 = 25\\ \mathrm{m}.
  • Checagem com número de voltas e circunferência: a circunferência da roda é 2\pi r = 2\pi\cdot 0,5 = \pi\\ \mathrm{m}. O número de rotações é
N=\frac{\theta}{2\pi}=\frac{50}{2\pi}\approx 7,96
e N\cdot(2\pi r)\approx 7,96\cdot\pi\approx 25\\ \mathrm{m}. Tudo coerente.

Passo 6

Resumo e motivação rápida: usar v=\omega r para passar de velocidade angular para velocidade linear e depois s=v t é o caminho direto e rápido em prova; a alternativa s=r(\omega t) é equivalente e às vezes mais elegante.
Força aí — está tudo certo, dá para decorar o raciocínio e aplicar rapidamente na prova.

Resposta

25\\ \mathrm{m}