Como a rugosidade da superfície afeta a queda de pressão em um tubo se o escoamento for turbulento? Qual seria a resposta se o escoamento for laminar? ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Como a rugosidade da superfície afeta a queda de pressão em um tubo quando o escoamento é turbulento.
  • Qual seria a resposta se o escoamento fosse laminar.
Não há dados numéricos no enunciado: só é preciso explicar o efeito qualitativo (e, se conveniente, as relações quantitativas básicas) em cada regime.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (fórmula que relaciona perda de carga e rugosidade).
A relação mais usada para perda de carga por atrito em um escoamento interno é a equação de Darcy–Weisbach:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho U^2}{2},
onde
  • \Delta p é a queda de pressão ao longo do comprimento L do tubo;
  • f é o fator de atrito adimensional (friction factor);
  • D é o diâmetro interno do tubo;
  • \rho é a densidade do fluido;
  • U é a velocidade média do escoamento.
Portanto, para saber como a rugosidade afeta \Delta p precisamos entender como a rugosidade muda o fator f.

Passo 3

Resumo rápido sobre regimes de escoamento e o que controla f.
  • O parâmetro que separa regime laminar e turbulento é o número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U D}{\mu} (com \mu viscosidade dinâmica). Tipicamente, \mathrm{Re}\lesssim2300 → laminar; \mathrm{Re}\gtrsim4000 → turbulento; entre esses é de transição.
  • Em laminar, f depende só de \mathrm{Re} (e não da rugosidade) — veremos a expressão depois.
  • Em turbulento, f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \epsilon/D, onde \epsilon é a altura média das asperezas da parede. Há três sub-regimes importantes:
    1. Hidraulicamente suave (hydraulically smooth): as asperezas estão dentro da camada viscosa; f praticamente depende só de \mathrm{Re}.
    2. Regime de transição (parcialmente rugoso): tanto \mathrm{Re} quanto \epsilon/D influenciam f.
    3. Hidraulicamente totalmente rugoso (fully rough): a contribuição viscosa é pequena frente à rugosidade e f fica praticamente independente de \mathrm{Re}, dependendo apenas de \epsilon/D.

Passo 4

Expressões usuais que relacionam f, \mathrm{Re} e \epsilon/D no escoamento turbulento.
Uma forma implícita bem conhecida é a equação de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\;\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Essa equação mostra explicitamente que, em geral, f depende de \mathrm{Re} e de \epsilon/D. Algumas observações importantes decorrentes dela:
  • Se \epsilon/D for muito pequeno e \mathrm{Re} grande, o termo \dfrac{\epsilon/D}{3{,}7} é desprezível e a dependência principal de f vem do termo \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} — é o regime hidraulicamente suave.
  • Se \mathrm{Re} for muito alto, o segundo termo tende a zero e sobra
\frac{1}{\sqrt{f}} \approx -2{,}0\;\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}\right),
ou seja, f depende somente de \epsilon/D (regime totalmente rugoso).
Para cálculo aproximado explícito pode-se usar a fórmula de Swamee–Jain (prática):
f \approx \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon/D}{3{,}7} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Essa fórmula deixa claro que aumentar \epsilon/D aumenta f, e então aumenta \Delta p pela Darcy–Weisbach.

Passo 5

Interpretação qualitativa e física para o caso turbulento.
  • Rugosidade faz as protuberâncias da parede ‘interagirem’ com as estruturas turbulentas próximas da parede, aumentando a dissipação de energia e, portanto, o atrito.
  • Para escoamentos turbulentos em tubos reais, ao aumentar \epsilon/D a perda por atrito aumenta. Em regime totalmente rugoso, o aumento de \epsilon/D é o fator determinante para f (já não melhora com aumento de \mathrm{Re}).
  • Na prática: superfícies mais ásperas → maior f → maior \Delta p para mesma L, D, \rho e U.

Passo 6

Caso laminar: fórmula e efeito (ou ausência dele) da rugosidade.
Para escoamento laminar em tubo circular (perfil parabólico, lei de Hagen–Poiseuille), o fator de atrito tem a forma simples:
f = \frac{64}{\mathrm{Re}}.
Dessa expressão:
  • f depende apenas de \mathrm{Re} e não aparece \epsilon/D.
  • Logo, para escoamento laminar perfeitamente desenvolvido numa tubulação lisa ou com pequenas asperezas (isto é, quando as asperezas estão pequenas comparadas à espessura da camada viscosa), a rugosidade não altera \Delta p de forma significativa — a perda é controlada pela viscosidade e pelo gradiente de velocidade laminar.

Passo 7

Observações e exceções práticas que valem anotar (ajuda na prova e no mundo real).
  • Se a rugosidade for suficientemente grande para perturbar o perfil laminar (por exemplo, \epsilon não é muito menor que a espessura da camada viscosa local ou que o tubo é muito pequeno), a rugosidade pode desencadear transição para turbulência; aí a situação volta à descrição de escoamento turbulento (com maior perda).
  • Em escoamentos de microtubos ou quando \epsilon é comparável ao raio, as hipóteses clássicas podem falhar — mas esses são casos especiais.
  • Resumindo de forma prática para provas e problemas de engenharia: para laminar use f=64/\mathrm{Re} (rugosidade desprezível); para turbulento use Colebrook/Swamee–Jain e lembre-se dos regimes hidraulicamente suave/transicional/totalmente rugoso.

Resposta

Turbulento: a rugosidade aumenta o fator de atrito f e, portanto, aumenta a queda de pressão \Delta p segundo \Delta p = f\frac{L}{D}\frac{\rho U^2}{2}; em regimes totalmente rugosos f depende principalmente de \epsilon/D (não mais de \mathrm{Re}).
Laminar: a perda é dada por f=64/\mathrm{Re} e, para asperezas pequenas em relação à camada viscosa, a rugosidade não altera significativamente a queda de pressão (só passa a importar se a rugosidade for grande o suficiente para perturbar o escoamento e induzir transição).

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