Como a rugosidade da superfície afeta a queda de pressão em um tubo se o escoamento for turbulento? Qual seria a resposta se o escoamento for laminar? ( 1,0 ponto).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Como a rugosidade da superfície afeta a queda de pressão em um tubo quando o escoamento é turbulento.
- Qual seria a resposta se o escoamento fosse laminar.
Não há dados numéricos no enunciado: só é preciso explicar o efeito qualitativo (e, se conveniente, as relações quantitativas básicas) em cada regime.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (fórmula que relaciona perda de carga e rugosidade).
A relação mais usada para perda de carga por atrito em um escoamento interno é a equação de Darcy–Weisbach:
A relação mais usada para perda de carga por atrito em um escoamento interno é a equação de Darcy–Weisbach:
onde
-
é a queda de pressão ao longo do comprimento do tubo; -
é o fator de atrito adimensional (friction factor); -
é o diâmetro interno do tubo; -
é a densidade do fluido; -
é a velocidade média do escoamento.
Portanto, para saber como a rugosidade afeta
precisamos entender como a rugosidade muda o fator
.
Passo 3
Resumo rápido sobre regimes de escoamento e o que controla
.
- O parâmetro que separa regime laminar e turbulento é o número de Reynolds
(com viscosidade dinâmica). Tipicamente, → laminar; → turbulento; entre esses é de transição. - Em laminar,
depende só de (e não da rugosidade) — veremos a expressão depois. - Em turbulento,
depende de e da rugosidade relativa , onde é a altura média das asperezas da parede. Há três sub-regimes importantes: - Hidraulicamente suave (hydraulically smooth): as asperezas estão dentro da camada viscosa;
praticamente depende só de . - Regime de transição (parcialmente rugoso): tanto
quanto influenciam . - Hidraulicamente totalmente rugoso (fully rough): a contribuição viscosa é pequena frente à rugosidade e
fica praticamente independente de , dependendo apenas de .
- Hidraulicamente suave (hydraulically smooth): as asperezas estão dentro da camada viscosa;
Passo 4
Expressões usuais que relacionam
,
e
no escoamento turbulento.
Uma forma implícita bem conhecida é a equação de Colebrook–White:
Uma forma implícita bem conhecida é a equação de Colebrook–White:
Essa equação mostra explicitamente que, em geral,
depende de
e de
. Algumas observações importantes decorrentes dela:
- Se
for muito pequeno e grande, o termo é desprezível e a dependência principal de vem do termo — é o regime hidraulicamente suave. - Se
for muito alto, o segundo termo tende a zero e sobra
ou seja,
depende somente de
(regime totalmente rugoso).
Para cálculo aproximado explícito pode-se usar a fórmula de Swamee–Jain (prática):
Essa fórmula deixa claro que aumentar
aumenta
, e então aumenta
pela Darcy–Weisbach.
Passo 5
Interpretação qualitativa e física para o caso turbulento.
- Rugosidade faz as protuberâncias da parede ‘interagirem’ com as estruturas turbulentas próximas da parede, aumentando a dissipação de energia e, portanto, o atrito.
- Para escoamentos turbulentos em tubos reais, ao aumentar
a perda por atrito aumenta. Em regime totalmente rugoso, o aumento de é o fator determinante para (já não melhora com aumento de ). - Na prática: superfícies mais ásperas → maior
→ maior para mesma , , e .
Passo 6
Caso laminar: fórmula e efeito (ou ausência dele) da rugosidade.
Para escoamento laminar em tubo circular (perfil parabólico, lei de Hagen–Poiseuille), o fator de atrito tem a forma simples:
Para escoamento laminar em tubo circular (perfil parabólico, lei de Hagen–Poiseuille), o fator de atrito tem a forma simples:
Dessa expressão:
-
depende apenas de e não aparece . - Logo, para escoamento laminar perfeitamente desenvolvido numa tubulação lisa ou com pequenas asperezas (isto é, quando as asperezas estão pequenas comparadas à espessura da camada viscosa), a rugosidade não altera
de forma significativa — a perda é controlada pela viscosidade e pelo gradiente de velocidade laminar.
Passo 7
Observações e exceções práticas que valem anotar (ajuda na prova e no mundo real).
- Se a rugosidade for suficientemente grande para perturbar o perfil laminar (por exemplo,
não é muito menor que a espessura da camada viscosa local ou que o tubo é muito pequeno), a rugosidade pode desencadear transição para turbulência; aí a situação volta à descrição de escoamento turbulento (com maior perda). - Em escoamentos de microtubos ou quando
é comparável ao raio, as hipóteses clássicas podem falhar — mas esses são casos especiais. - Resumindo de forma prática para provas e problemas de engenharia: para laminar use
(rugosidade desprezível); para turbulento use Colebrook/Swamee–Jain e lembre-se dos regimes hidraulicamente suave/transicional/totalmente rugoso.
Resposta
Turbulento: a rugosidade aumenta o fator de atrito
e, portanto, aumenta a queda de pressão
segundo
; em regimes totalmente rugosos
depende principalmente de
(não mais de
).
Laminar: a perda é dada por e, para asperezas pequenas em relação à camada viscosa, a rugosidade não altera significativamente a queda de pressão (só passa a importar se a rugosidade for grande o suficiente para perturbar o escoamento e induzir transição).
Laminar: a perda é dada por