17.100 Um painel de madeira de 8 kg é suspenso por um pino suporte
e está inicialmente em repouso. Uma esfera de metal de 2 kg é liberada do repouso em
e cai dentro de uma concha semiesférica
presa ao painel em um ponto localizado em sua borda de topo. Considerando que o impacto é perfeitamente elástico, determine a velocidade do centro de massa
do painel imediatamente após do impacto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade do centro de massa
do painel imediatamente após o impacto.
O enunciado fornece explicitamente:
O enunciado fornece explicitamente:
- massa do painel:
; - massa da esfera:
; - o painel está apoiado por um pino em
(pino ideal); - a esfera é liberada do repouso em
e cai dentro de uma concha semiesférica presa ao painel; - o impacto é perfeitamente elástico.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para obter um valor numérico):
- a distância do pino
até o ponto de contato (bordo/centro da concha) — denotarei por (braço perpendicular entre e a linha de velocidade da esfera no instante do impacto); - a distância de
até o centro de massa do painel — denotarei por ; - o momento de inércia do painel em relação ao eixo que passa por
(ou a geometria do painel para calcular ); - a altura de queda (distância vertical de
até o ponto de contato) — denotarei por , necessária para calcular a velocidade da esfera imediatamente antes do impacto.
Sem esses dados geométricos ou a figura com as dimensões, não é possível fornecer um valor numérico. Vou, então, apresentar a resolução passo a passo em termos simbólicos (fórmula final) e explicar tudo didaticamente para você aplicar na prova assim que tiver
,
,
e
.
Passo 2
Definição do modelo físico e símbolos (sempre explicando o que cada coisa é):
- Tratar a esfera como uma partícula de massa
. - Tratar o painel como um corpo rígido de massa
com momento de inércia em relação ao pino em . - Distância do pino
ao ponto de impacto (linha de ação da velocidade da esfera): . - Distância do pino
ao centro de massa do painel : . - Velocidade da esfera imediatamente antes do impacto (obtida pela queda livre desde
): , onde é a aceleração da gravidade e é a queda vertical de até o ponto de contato.
Explicação: para achar
usa-se conservação da energia da esfera entre
(repouso) e o instante imediatamente antes do choque:
Passo 3
Por que usar momento angular (quando há impacto em corpo ligado por pino)?
- O impacto é praticamente instantâneo, então forças de reação impulsivas no pino
surgem; porém o impulso no pino tem momento nulo em relação ao ponto (o vetor posição é nulo), logo essas forças não mudam o momento angular total do sistema (esfera + painel) em torno de durante o choque instantâneo. - Portanto, o momento angular em torno de
é conservado ao longo do impacto.
Aplicação: escrevemos conservação do momento angular em torno de
entre imediatamente antes e imediatamente depois do choque.
Passo 4
Momento angular inicial (antes do choque) em torno de
:
- O painel está em repouso → momento angular do painel em torno de
é zero. - A esfera tem momento linear
e seu braço perpendicular em relação a é (definição). Logo o momento angular inicial em torno de é
Passo 5
Equações de impacto e impulsos (passo a passo didático):
- Durante o choque atua um impulso
na esfera (na direção normal/tangencial do contato conforme definido). Para a esfera a equação do impulso-linear é
onde
é a velocidade escalar da esfera imediatamente após o choque (na mesma direção considerada positiva) e o sinal «
» indica que o impulso reduz a velocidade da esfera no sentido positivo se o impulso atua contrariamente.
- O mesmo impulso
gera um impulso rotacional no painel em torno de :
onde
é a velocidade angular do painel imediatamente após o choque. (Justificação: o momento do impulso em torno de
é
, que resulta na variação do momento angular do painel que passa de 0 para
.)
- Regra de restituição (impacto perfeitamente elástico): a velocidade relativa de separação é o negativo da velocidade relativa de aproximação. A velocidade relativa entre esfera e ponto do painel na linha de contato é:
- antes do choque:
. O painel está em repouso antes do choque, então e . - depois do choque:
, onde é a velocidade tangencial do ponto de contato do painel (já que o painel gira com ).
- antes do choque:
Para impacto perfeitamente elástico (coeficiente de restituição
):
Isto é, a velocidade relativa pós-choque é
a relativa pré-choque.
Passo 6
Resolver o sistema das três equações (impulso da esfera, impulso do painel e restituição) para
:
- Da restituição:
- Substituindo em
:
- Substituindo
em :
- Desenvolvendo:
- Agrupando os termos com
:
- Logo:
Comentário didático: esse resultado aparece muitas vezes para colisões perfeitamente elásticas entre uma partícula e um corpo rígido com pivô — a presença do termo
no denominador é efeito da “inércia adicional” trazida pela partícula que troca momento com o corpo.
Passo 7
Velocidade do centro de massa
:
- A velocidade linear do centro de massa do painel imediatamente após o choque é simplesmente a velocidade tangencial devido à rotação em torno de
:
- Substituindo
do passo anterior:
Lembrete:
(velocidade da esfera antes do choque) é obtida por queda livre desde
:
onde
é a queda vertical que deve ser lida na figura/enunciado.
Passo 8
Como aplicar isso na prova (exemplos e dicas práticas):
- Se a figura indicar que o painel é, por exemplo, uma barra uniforme de comprimento
com pivô numa extremidade, então e . Substitua esses valores em . - Sempre identifique corretamente
: é o braço perpendicular do vetor velocidade da esfera (no instante do impacto) até o pino . - Verifique o sentido das velocidades (consistência de sinais) ao aplicar a relação de restituição.
- Se o choque não for perfeitamente elástico (se
), a relação de restituição vira
e o procedimento análogo leva a
Para
recupera-se o fator
no numerador usado acima.