17.100 Um painel de madeira de 8 kg é suspenso por um pino suporte \operatorname{em} A e está inicialmente em repouso. Uma esfera de metal de 2 kg é liberada do repouso em B e cai dentro de uma concha semiesférica C presa ao painel em um ponto localizado em sua borda de topo. Considerando que o impacto é perfeitamente elástico, determine a velocidade do centro de massa G do painel imediatamente após do impacto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do centro de massa G do painel imediatamente após o impacto.
O enunciado fornece explicitamente:
  • massa do painel: M=8\\ \text{kg};
  • massa da esfera: m=2\\ \text{kg};
  • o painel está apoiado por um pino em A (pino ideal);
  • a esfera é liberada do repouso em B e cai dentro de uma concha semiesférica C presa ao painel;
  • o impacto é perfeitamente elástico.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para obter um valor numérico):
  • a distância do pino A até o ponto de contato (bordo/centro da concha) — denotarei por R (braço perpendicular entre A e a linha de velocidade da esfera no instante do impacto);
  • a distância de A até o centro de massa do painel G — denotarei por r_G;
  • o momento de inércia do painel em relação ao eixo que passa por A (ou a geometria do painel para calcular I_A);
  • a altura de queda (distância vertical de B até o ponto de contato) — denotarei por h, necessária para calcular a velocidade da esfera imediatamente antes do impacto.
Sem esses dados geométricos ou a figura com as dimensões, não é possível fornecer um valor numérico. Vou, então, apresentar a resolução passo a passo em termos simbólicos (fórmula final) e explicar tudo didaticamente para você aplicar na prova assim que tiver R, r_G, I_A e h.

Passo 2

Definição do modelo físico e símbolos (sempre explicando o que cada coisa é):
  • Tratar a esfera como uma partícula de massa m.
  • Tratar o painel como um corpo rígido de massa M com momento de inércia I_A em relação ao pino em A.
  • Distância do pino A ao ponto de impacto (linha de ação da velocidade da esfera): R.
  • Distância do pino A ao centro de massa do painel G: r_G.
  • Velocidade da esfera imediatamente antes do impacto (obtida pela queda livre desde B): \;v\;=\;\sqrt{2 g h}, onde g é a aceleração da gravidade e h é a queda vertical de B até o ponto de contato.
Explicação: para achar \;v\; usa-se conservação da energia da esfera entre B (repouso) e o instante imediatamente antes do choque:
m g h = \tfrac12 m v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{2 g h}.

Passo 3

Por que usar momento angular (quando há impacto em corpo ligado por pino)?
  • O impacto é praticamente instantâneo, então forças de reação impulsivas no pino A surgem; porém o impulso no pino tem momento nulo em relação ao ponto A (o vetor posição é nulo), logo essas forças não mudam o momento angular total do sistema (esfera + painel) em torno de A durante o choque instantâneo.
  • Portanto, o momento angular em torno de A é conservado ao longo do impacto.
Aplicação: escrevemos conservação do momento angular em torno de A entre imediatamente antes e imediatamente depois do choque.

Passo 4

Momento angular inicial (antes do choque) em torno de A:
  • O painel está em repouso → momento angular do painel em torno de A é zero.
  • A esfera tem momento linear m v e seu braço perpendicular em relação a A é R (definição). Logo o momento angular inicial em torno de A é
L_i = m v R.

Passo 5

Equações de impacto e impulsos (passo a passo didático):
  • Durante o choque atua um impulso J na esfera (na direção normal/tangencial do contato conforme definido). Para a esfera a equação do impulso-linear é
m(v' - v) = -J,
onde v' é a velocidade escalar da esfera imediatamente após o choque (na mesma direção considerada positiva) e o sinal « -J» indica que o impulso reduz a velocidade da esfera no sentido positivo se o impulso atua contrariamente.
  • O mesmo impulso J gera um impulso rotacional no painel em torno de A:
I_A \,\omega = J R,
onde \omega é a velocidade angular do painel imediatamente após o choque. (Justificação: o momento do impulso em torno de A é J R, que resulta na variação do momento angular do painel que passa de 0 para I_A\omega.)
  • Regra de restituição (impacto perfeitamente elástico): a velocidade relativa de separação é o negativo da velocidade relativa de aproximação. A velocidade relativa entre esfera e ponto do painel na linha de contato é:
    • antes do choque: v_{\text{rel,pre}} = v - V_{c,\text{pre}}. O painel está em repouso antes do choque, então V_{c,\text{pre}}=0 e v_{\text{rel,pre}}=v.
    • depois do choque: v_{\text{rel,post}} = v' - V_{c,\text{post}}, onde V_{c,\text{post}} = \omega R é a velocidade tangencial do ponto de contato do painel (já que o painel gira com \omega).
Para impacto perfeitamente elástico (coeficiente de restituição e=1):
v' - \omega R = -\,v.
Isto é, a velocidade relativa pós-choque é - a relativa pré-choque.

Passo 6

Resolver o sistema das três equações (impulso da esfera, impulso do painel e restituição) para \omega:
  • Da restituição:
v' = \omega R - v.
  • Substituindo em m(v' - v) = -J:
J = m(v - v') = m\bigl(v - (\omega R - v)\bigr) = m(2v - \omega R).
  • Substituindo J em I_A\omega = J R:
I_A \omega = R \cdot m(2v - \omega R).
  • Desenvolvendo:
I_A \omega = 2 m R v - m R^2 \omega.
  • Agrupando os termos com \omega:
I_A \omega + m R^2 \omega = 2 m R v.
  • Logo:
\omega \;=\; \frac{2 m R v}{I_A + m R^2}.
Comentário didático: esse resultado aparece muitas vezes para colisões perfeitamente elásticas entre uma partícula e um corpo rígido com pivô — a presença do termo m R^2 no denominador é efeito da “inércia adicional” trazida pela partícula que troca momento com o corpo.

Passo 7

Velocidade do centro de massa G:
  • A velocidade linear do centro de massa do painel imediatamente após o choque é simplesmente a velocidade tangencial devido à rotação em torno de A:
V_G = \omega\, r_G.
  • Substituindo \omega do passo anterior:
\boxed{\,V_G \;=\; \dfrac{2 m R v\, r_G}{I_A + m R^2}\,.}
Lembrete: v (velocidade da esfera antes do choque) é obtida por queda livre desde B:
v=\sqrt{2 g h},
onde h é a queda vertical que deve ser lida na figura/enunciado.

Passo 8

Como aplicar isso na prova (exemplos e dicas práticas):
  • Se a figura indicar que o painel é, por exemplo, uma barra uniforme de comprimento L com pivô numa extremidade, então r_G=L/2 e I_A=\tfrac{1}{3}M L^2. Substitua esses valores em V_G.
  • Sempre identifique corretamente R: é o braço perpendicular do vetor velocidade da esfera (no instante do impacto) até o pino A.
  • Verifique o sentido das velocidades (consistência de sinais) ao aplicar a relação de restituição.
  • Se o choque não for perfeitamente elástico (se e\neq1), a relação de restituição vira
v' - \omega R = -e\,v,
e o procedimento análogo leva a
\omega = \frac{(1+e)\,m R v}{I_A + m R^2}.
Para e=1 recupera-se o fator 2 no numerador usado acima.

Resposta

V_G \;=\; \frac{2\,m\,R\,v\,r_G}{I_A + m R^2},\qquad v=\sqrt{2 g h}.

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