Em S_{3} demonstrar que existem quatro elementos que satisfazem x^{2}=e e três elementos que satisfazem y^{3}=e.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que existem exatamente 4 elementos de S_{3} tais que x^{2}=e.
  • Mostrar que existem exatamente 3 elementos de S_{3} tais que y^{3}=e.
Informações relevantes que temos (explícitas ou padrão):
  • S_{3} é o grupo de todas as permutações dos três elementos \{1,2,3\}.
  • O número total de elementos de S_{3} é 3!=6.
  • Vou listar explicitamente todos os elementos de S_{3} e analisar suas potências.

Passo 2

Vamos lembrar a notação de ciclos e uma regra útil sobre ordens:
  • Uma transposição troca dois elementos e é escrita como, por exemplo, (1\,2).
  • Um k-ciclo tem ordem k: isto é, aplicar um ciclo de comprimento k k vezes dá a identidade.
  • Se uma permutação é produto de ciclos disjuntos, sua ordem é o mínimo múltiplo comum (mmc) dos comprimentos desses ciclos.
Essas regras vêm diretamente da definição de permutação: aplicar a mesma troca duas vezes volta tudo ao lugar, aplicar um 3‑ciclo três vezes volta tudo ao lugar, etc.

Passo 3

Listar todos os elementos de S_{3}. Como S_{3} tem 3!=6 elementos, são exatamente:
  • a identidade: e,
  • as três transposições (trocam dois elementos e deixam o terceiro fixo): (1\,2),\\ (1\,3),\\ (2\,3),
  • os dois 3‑ciclos: (1\,2\,3) e (1\,3\,2).
Portanto a lista completa é
\{\,e,\\ (1\,2),\\ (1\,3),\\ (2\,3),\\ (1\,2\,3),\\ (1\,3\,2)\,\}.

Passo 4

Analisar quais elementos satisfazem x^{2}=e.
  • Para a identidade e vale trivialmente e^{2}=e.
  • Para uma transposição, por exemplo (1\,2), aplicar a mesma troca duas vezes desfaz a troca; logo (1\,2)^{2}=e.O mesmo raciocínio vale para (1\,3) e (2\,3). Assim cada transposição tem ordem 2 e satisfaz a equação x^{2}=e.
  • Para um 3‑ciclo, por exemplo (1\,2\,3), sua ordem é 3, portanto (1\,2\,3)^{2}=(1\,3\,2)\neq ee (1\,2\,3)^{3}=e.Assim os 3‑ciclos não satisfazem x^{2}=e (somente sua terceira potência é a identidade).
Concluímos que os elementos de S_{3} que satisfazem x^{2}=e são exatamente
e,\\ (1\,2),\\ (1\,3),\\ (2\,3),
ou seja, 4 elementos.

Passo 5

Analisar quais elementos satisfazem y^{3}=e.
  • Para a identidade e vale e^{3}=e.
  • Para um 3‑ciclo, por definição de ordem 3, vale (1\,2\,3)^{3}=e\quad\text{e}\quad(1\,3\,2)^{3}=e.Logo os dois 3‑ciclos satisfazem y^{3}=e.
  • Para uma transposição, por exemplo (1\,2), como (1\,2)^{2}=e tem-se (1\,2)^{3}=(1\,2)^{2}(1\,2)=e\cdot(1\,2)=(1\,2)\neq e.Portanto as transposições não satisfazem y^{3}=e (a menos da identidade, que já foi considerada).
Concluímos que os elementos de S_{3} que satisfazem y^{3}=e são exatamente
e,\\ (1\,2\,3),\\ (1\,3\,2),
ou seja, 3 elementos.

Resposta

e,\\ (1\,2),\\ (1\,3),\\ (2\,3)
e,\\ (1\,2\,3),\\ (1\,3\,2)