Em
demonstrar que existem quatro elementos que satisfazem
e três elementos que satisfazem
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que existem exatamente
elementos de tais que . - Mostrar que existem exatamente
elementos de tais que .
Informações relevantes que temos (explícitas ou padrão):
-
é o grupo de todas as permutações dos três elementos . - O número total de elementos de
é . - Vou listar explicitamente todos os elementos de
e analisar suas potências.
Passo 2
Vamos lembrar a notação de ciclos e uma regra útil sobre ordens:
- Uma transposição troca dois elementos e é escrita como, por exemplo,
. - Um
-ciclo tem ordem : isto é, aplicar um ciclo de comprimento vezes dá a identidade. - Se uma permutação é produto de ciclos disjuntos, sua ordem é o mínimo múltiplo comum (mmc) dos comprimentos desses ciclos.
Essas regras vêm diretamente da definição de permutação: aplicar a mesma troca duas vezes volta tudo ao lugar, aplicar um 3‑ciclo três vezes volta tudo ao lugar, etc.
Passo 3
Listar todos os elementos de
. Como
tem
elementos, são exatamente:
- a identidade:
, - as três transposições (trocam dois elementos e deixam o terceiro fixo):
, - os dois 3‑ciclos:
e .
Portanto a lista completa é
Passo 4
Analisar quais elementos satisfazem
.
- Para a identidade
vale trivialmente . - Para uma transposição, por exemplo
, aplicar a mesma troca duas vezes desfaz a troca; logo O mesmo raciocínio vale para e . Assim cada transposição tem ordem e satisfaz a equação . - Para um 3‑ciclo, por exemplo
, sua ordem é , portanto e Assim os 3‑ciclos não satisfazem (somente sua terceira potência é a identidade).
Concluímos que os elementos de
que satisfazem
são exatamente
ou seja,
elementos.
Passo 5
Analisar quais elementos satisfazem
.
- Para a identidade
vale . - Para um 3‑ciclo, por definição de ordem
, vale Logo os dois 3‑ciclos satisfazem . - Para uma transposição, por exemplo
, como tem-se Portanto as transposições não satisfazem (a menos da identidade, que já foi considerada).
Concluímos que os elementos de
que satisfazem
são exatamente
ou seja,
elementos.