S e F(x, y, z) = x i + y j + z k, determine a matriz Jacobiana de F = vetor(F) no ponto (x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz Jacobiana da função vetorial no ponto (x, y, z). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz Jacobiana e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, a matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial em relação às suas variáveis. Ela nos dá informações sobre como a função se comporta em torno de um ponto específico.

Passo 3

Nossa função vetorial F = vetor(F) tem três componentes:
Vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação a x, y e z.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz Jacobiana usando essas derivadas parciais. A matriz terá a seguinte estrutura:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

A matriz Jacobiana de F = vetor(F) no ponto (x, y, z) é a matriz identidade:

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