Sabe-se que a produção de energia elétrica em usinas de certa região pode ser modelada por uma distribuição normal de média 500 e desvio padrão 100 (em megawatts).
Qual é a produção máxima nas 10 % das usinas menos produtivas?

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está nos dizendo. A produção de energia elétrica nas usinas dessa região segue uma distribuição normal com média de 500 megawatts e desvio padrão de 100 megawatts. O que precisamos descobrir é qual é a produção máxima dentro dos 10% das usinas que produzem menos, ou seja, o valor que separa as 10% menos produtivas das demais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. É uma distribuição de probabilidade em forma de sino, onde a média é o centro e o desvio padrão indica a dispersão dos dados. Nesse caso, a média ($ \mu mu éã \sigma $) é 100 megawatts.

Passo 3

Queremos encontrar o valor de produção que está no percentil 10 dessa distribuição. Isso significa que 10% das usinas produzem menos do que esse valor. Para isso, precisamos encontrar o valor correspondente a esse percentil na distribuição normal.

Passo 4

Para encontrar esse valor, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de probabilidades. Primeiro, precisamos identificar o valor $ z $ que corresponde ao percentil 10 na distribuição normal padrão.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, o valor $ z $ que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0,10 é aproximadamente -1,28. Esse valor indica quantos desvios padrão abaixo da média está o percentil 10.

Passo 6

Agora, vamos converter esse valor $ z $ para a escala original da produção de energia usando a fórmula de transformação:
z
Onde:
  • $ \mu = 500 $ megawatts (média)
  • $ \sigma = 100 $ megawatts (desvio padrão)
  • $ z = -1,28 $

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
X = 500 + (-1,28) times 100
X = 500 - 128
X = 372

Resposta

A produção máxima nas 10% das usinas menos produtivas é de 372 megawatts.

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