Sabe-se que a produção de energia elétrica em usinas de certa região pode ser modelada por uma distribuição normal de média 500 e desvio padrão 100 (em megawatts).
Construa um intervalo em torno da média que contenha
dos possíveis valores de produção de energia.
Construa um intervalo em torno da média que contenha
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a produção de energia elétrica em usinas de uma certa região que segue uma distribuição normal com média de 500 megawatts (MW) e desvio padrão de 100 MW. Nosso objetivo é construir um intervalo ao redor dessa média que contenha 90% dos possíveis valores de produção de energia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades dos intervalos de confiança.
Passo 2
A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das distribuições mais importantes na estatística. Ela é simétrica em torno da média, e sabemos que aproximadamente 68% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média, cerca de 95% dentro de dois desvios padrão, e aproximadamente 99,7% dentro de três desvios padrão. No nosso caso, queremos encontrar um intervalo que contenha 90% dos valores.
Passo 3
Para encontrar um intervalo que contenha 90% dos valores em uma distribuição normal, precisamos determinar quantos desvios padrão da média correspondem a essa probabilidade. Isso envolve encontrar os valores z que deixam 5% de cada lado da distribuição (porque 100% - 90% = 10%, distribuídos igualmente nos dois lados).
Passo 4
Usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística para encontrar o valor z que corresponde a uma probabilidade acumulada de 95% (já que 90% está no meio e 5% fica em cada extremidade). O valor z que atende a essa condição é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Agora que temos o valor z, podemos calcular o intervalo ao redor da média usando a fórmula:
Onde:
- $ \mu $ é a média (500 MW)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (100 MW)
- $ z $ é o valor correspondente a 90% de confiança (1,645)
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando os limites inferior e superior do intervalo:
- Limite inferior: $ 500 - 164,5 = 335,5 $ MW
- Limite superior: $ 500 + 164,5 = 664,5 $ MW
Resposta
O intervalo que contém 90% dos possíveis valores de produção de energia está entre 335,5 MW e 664,5 MW.