Sabe-se que a produção de energia elétrica em usinas de certa região pode ser modelada por uma distribuição normal de média 500 e desvio padrão 100 (em megawatts).
Construa um intervalo em torno da média que contenha 90 % dos possíveis valores de produção de energia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a produção de energia elétrica em usinas de uma certa região que segue uma distribuição normal com média de 500 megawatts (MW) e desvio padrão de 100 MW. Nosso objetivo é construir um intervalo ao redor dessa média que contenha 90% dos possíveis valores de produção de energia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades dos intervalos de confiança.

Passo 2

A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das distribuições mais importantes na estatística. Ela é simétrica em torno da média, e sabemos que aproximadamente 68% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média, cerca de 95% dentro de dois desvios padrão, e aproximadamente 99,7% dentro de três desvios padrão. No nosso caso, queremos encontrar um intervalo que contenha 90% dos valores.

Passo 3

Para encontrar um intervalo que contenha 90% dos valores em uma distribuição normal, precisamos determinar quantos desvios padrão da média correspondem a essa probabilidade. Isso envolve encontrar os valores z que deixam 5% de cada lado da distribuição (porque 100% - 90% = 10%, distribuídos igualmente nos dois lados).

Passo 4

Usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística para encontrar o valor z que corresponde a uma probabilidade acumulada de 95% (já que 90% está no meio e 5% fica em cada extremidade). O valor z que atende a essa condição é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora que temos o valor z, podemos calcular o intervalo ao redor da média usando a fórmula:
Intervalo = mu pm z times sigma
Onde:
- $ \mu $ é a média (500 MW)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (100 MW)
- $ z $ é o valor correspondente a 90% de confiança (1,645)

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Intervalo = 500 pm 1,645 times 100
Intervalo = 500 pm 164,5

Passo 7

Calculando os limites inferior e superior do intervalo:
  • Limite inferior: $ 500 - 164,5 = 335,5 $ MW
  • Limite superior: $ 500 + 164,5 = 664,5 $ MW

Resposta

O intervalo que contém 90% dos possíveis valores de produção de energia está entre 335,5 MW e 664,5 MW.

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