Sabendo que d=30,5 \mathrm{~mm}, determine o torque \mathbf{T} que causa a máxima tensão de cisalhamento de 51,7 \mathrm{MPa} no eixo vazado mostrado.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o torque \mathbf{T} que causa uma máxima tensão de cisalhamento de \,51{,}7\\ \mathrm{MPa}\, no eixo vazado mostrado.
Dados fornecidos:
  • O enunciado dá d=30{,}5\\ \mathrm{mm} (este valor veio do texto fornecido).
  • A figura mostra outra dimensão 40{,}6\\ \mathrm{mm} que corresponde ao diâmetro externo do eixo (vou pegar esse valor da imagem).
Informações que vamos usar (resumindo para não nos perder):
  • d = diâmetro interno (furo) = 30{,}5\\ \mathrm{mm} (dado).
  • D = diâmetro externo = 40{,}6\\ \mathrm{mm} (extraído da imagem).
  • Tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} = 51{,}7\\ \mathrm{MPa} (dado).
    A partir disso precisamos calcular T.

Passo 2

Conceito básico (fórmula de torção para seção circular vazada) — explicando com calma:
  • Para um eixo circular sujeito a torque T, a tensão de cisalhamento em raio r é dada por
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento na superfície de raio r,
  • T é o torque aplicado,
  • J é o momento polar de inércia da seção (também chamado de segunda área polar), medido em \mathrm{mm}^4 se as dimensões estiverem em \mathrm{mm}.
  • A máxima tensão de cisalhamento ocorre na superfície externa, isto é, em r=c onde c é o raio externo. Portanto:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Rearranjando para achar T:
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Vou usar essa fórmula direta — ela é a forma padrão em problemas de torção de eixos circulares.

Passo 3

Fórmula do momento polar J para eixo circular vazado:
  • Para um eixo de diâmetro externo D e diâmetro interno d,
J=\frac{\pi}{32}\left(D^{4}-d^{4}\right).
Explicação rápida do que é J: é uma medida de “resistência geométrica” da seção à torção; quanto maior J, menor será a tensão para um mesmo torque. A fórmula vem de integrar r^{2} sobre a área circular externa menos a área interna (não é necessário provar aqui, só saber usar).

Passo 4

Conversão de unidades e definição dos parâmetros numéricos (peguei D da imagem como informado antes):
  • \tau_{\max}=51{,}7\\ \mathrm{MPa}=51{,}7\\ \mathrm{N/mm^{2}} (lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^{2}}).
  • D=40{,}6\\ \mathrm{mm} (diâmetro externo, extraído da figura).
  • d=30{,}5\\ \mathrm{mm} (diâmetro interno, dado).
  • Raio externo c=\dfrac{D}{2}=\dfrac{40{,}6}{2}=20{,}3\\ \mathrm{mm}.
Vou trabalhar em unidades \mathrm{mm} e \mathrm{N} para obter T em \mathrm{N\cdot mm}, depois converto para \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Calcular D^{4} e d^{4} (passo a passo numérico):
  • Primeiro D^{2}:
D^{2}=(40{,}6)^{2}=1648{,}36\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Depois D^{4}=(D^{2})^{2}:
D^{4}=(1648{,}36)^{2}=2717090{,}6896\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • Agora d^{2}:
d^{2}=(30{,}5)^{2}=930{,}25\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • E d^{4}:
d^{4}=(930{,}25)^{2}=865365{,}0625\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • Diferença:
D^{4}-d^{4}=2717090{,}6896-865365{,}0625=1851725{,}6271\\ \mathrm{mm^{4}}.

Passo 6

Calcular J usando a fórmula:
J=\frac{\pi}{32}\left(D^{4}-d^{4}\right).
Substituindo:
J=\frac{\pi}{32}\cdot 1851725{,}6271\\ \mathrm{mm^{4}}.
Calculemos numericamente (mostrando cada etapa):
  • \dfrac{\pi}{32}\approx 0{,}09817477042468103.
  • Portanto
J \approx 0{,}09817477042468103 \times 1851725{,}6271 \approx 181792{,}7383\\ \mathrm{mm^{4}}.

Passo 7

Agora usar a relação T=\dfrac{\tau_{\max} J}{c}.
Substituindo os valores (tudo em \mathrm{mm} e \mathrm{N/mm^{2}}, resultando em \mathrm{N\cdot mm}):
T=\frac{51{,}7\\ (\mathrm{N/mm^{2}})\times 181792{,}7383\\ (\mathrm{mm^{4}})}{20{,}3\\ (\mathrm{mm})}.
Calculemos o numerador:
51{,}7\times 181792{,}7383 \approx 9398784{,}5683\\ (\mathrm{N\cdot mm^{3}}).
Agora dividindo por 20{,}3\\ \mathrm{mm}:
T \approx \frac{9398784{,}5683}{20{,}3}\\ \mathrm{N\cdot mm} \approx 462994{,}3\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 8

Converter o resultado para \mathrm{N\cdot m} (mais usual para torque):
  • 1\\ \mathrm{N\cdot m}=1000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
    Portanto
T \approx \frac{462994{,}3}{1000}\\ \mathrm{N\cdot m}=462{,}994\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
T \approx 463{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida:
  • Fizemos o cálculo direto com a fórmula padrão de torção para eixo oco.
  • Unidades conferem: \tau em \mathrm{N/mm^{2}}, J em \mathrm{mm^{4}}, c em \mathrm{mm} T em \mathrm{N\cdot mm} → convertido para \mathrm{N\cdot m}.
  • Resultado coerente numericamente (ordem de grandeza correta para esse diâmetro e tensão).

Resposta

T \approx 463{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}

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