Sabendo que
, determine o torque
que causa a máxima tensão de cisalhamento de
no eixo vazado mostrado.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o torque
que causa uma máxima tensão de cisalhamento de no eixo vazado mostrado.
Dados fornecidos:
- O enunciado dá
(este valor veio do texto fornecido). - A figura mostra outra dimensão
que corresponde ao diâmetro externo do eixo (vou pegar esse valor da imagem).
Informações que vamos usar (resumindo para não nos perder):
-
= diâmetro interno (furo) = (dado). -
= diâmetro externo = (extraído da imagem). - Tensão de cisalhamento máxima
(dado).
A partir disso precisamos calcular.
Passo 2
Conceito básico (fórmula de torção para seção circular vazada) — explicando com calma:
- Para um eixo circular sujeito a torque
, a tensão de cisalhamento em raio é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento na superfície de raio , -
é o torque aplicado, -
é o momento polar de inércia da seção (também chamado de segunda área polar), medido em se as dimensões estiverem em . -
A máxima tensão de cisalhamento ocorre na superfície externa, isto é, em
onde é o raio externo. Portanto:
Rearranjando para achar
:
Vou usar essa fórmula direta — ela é a forma padrão em problemas de torção de eixos circulares.
Passo 3
Fórmula do momento polar
para eixo circular vazado:
- Para um eixo de diâmetro externo
e diâmetro interno ,
Explicação rápida do que é
: é uma medida de “resistência geométrica” da seção à torção; quanto maior
, menor será a tensão para um mesmo torque. A fórmula vem de integrar
sobre a área circular externa menos a área interna (não é necessário provar aqui, só saber usar).
Passo 4
Conversão de unidades e definição dos parâmetros numéricos (peguei
da imagem como informado antes):
-
(lembrando que ). -
(diâmetro externo, extraído da figura). -
(diâmetro interno, dado). - Raio externo
.
Vou trabalhar em unidades
e
para obter
em
, depois converto para
.
Passo 5
Calcular
e
(passo a passo numérico):
- Primeiro
:
- Depois
:
- Agora
:
- E
:
- Diferença:
Passo 6
Calcular
usando a fórmula:
Substituindo:
Calculemos numericamente (mostrando cada etapa):
-
. - Portanto
Passo 7
Agora usar a relação
.
Substituindo os valores (tudo em e
, resultando em
):
Substituindo os valores (tudo em
Calculemos o numerador:
Agora dividindo por
:
Passo 8
Converter o resultado para
(mais usual para torque):
-
.
Portanto
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
Passo 9
Interpretação final e checagem rápida:
- Fizemos o cálculo direto com a fórmula padrão de torção para eixo oco.
- Unidades conferem:
em , em , em → em → convertido para . - Resultado coerente numericamente (ordem de grandeza correta para esse diâmetro e tensão).