17 - A viga abaixo tem seção retangular maciça
e seu material tem módulo de Elasticidade igual a
. O apoio intermediário é uma mola, com constante
. Sabendo-se que
a) Determinar todas as reações de apoio;
b) O valor do deslocamento do apoio intermediário (da mola), em cm .
a) Determinar todas as reações de apoio;
b) O valor do deslocamento do apoio intermediário (da mola), em cm .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar todas as reações de apoio (reacções verticais nos apoios A, B e D);
- (b) Determinar o deslocamento do apoio intermediário (a mola em B), em cm.
Informações fornecidas (peguei estes dados da figura):
- Carga distribuída uniformemente
agindo sobre o trecho de entre e . - Carga pontual
em (extremidade direita). - Momento concentrado
aplicado na extremidade esquerda. - Distâncias (da esquerda para a direita):
(extremidade esquerda) até : ; até : ; até : . Portanto o vão entre e é e está a de (ou seja ). - Módulo de elasticidade
. - Seção retangular
(largura , altura ). - Mola no apoio
com constante . - Fórmula de curvatura dada:
.
Resumo das cargas numéricas:
- Resultante do UDL:
. - Soma das cargas verticais:
Passo 2
Escolha do método e conversões de unidades (muito importante para consistência).
- Método: força-redundante (método das forças). Trato a reação vertical na mola em
como redundante . Primeiro removo a mola (estrutura com apoios em e apenas = determinística), calculo as reações dessa estrutura determinística e a deflexão em nessa estrutura por superposição (método do trabalho virtual / influência). Depois uso a compatibilidade (com deslocamento vertical em na estrutura real) para achar . - Converter
, e para unidades em metros (para usar m nas distâncias): -
(porque ). - Momento de inércia da seção retangular (em m^4):
-
- Portanto
- Constante da mola em unidades
:
Passo 3
Reações na estrutura determinística (estrutura sem a mola em
): apoios em
(em
) e em
(em
).
- Equilíbrio vertical:
- Equilíbrio de momentos em torno de
(tomando os momentos positivos no sentido que balanceie as cargas): a resultante do UDL atua a de ; a carga concentrada atua a de ; o momento aplicado também entra na soma de momentos. Assim: Resolviendo:
Passo 4
Cálculo da deflexão em
para a estrutura sem mola (chamamos isso de
). Usamos o método do trabalho virtual (teorema de Clapeyron): para o deslocamento no ponto
causado pelas cargas reais,
onde
é o momento interno devido a uma carga unitária para cima aplicada em
(estrutura com apoios em
e
).
Definimos coordenada
(ou seja
em
,
em
,
em
). Comprimento total entre apoios
, e posição da carga unitária em
(distância do apoio esquerdo), com
.
Momentos do carregamento real (para
, i.e.
):
e para
(ou
):
Momentos do carregamento unitário em
:
- Para
(esquerda da carga unitária): - Para
(à direita):
Agora calculamos a integral em duas partes:
I1 de a
:
I1 de
Substituindo valores numéricos
,
,
, e calculando os termos, obtém-se
I2 de
a
:
Dar a expressão simplificada e integrar:
Dar a expressão simplificada e integrar:
Somando:
Portanto
(Interpretação: sem a mola, o ponto
deslocaria para baixo aproximadamente
.)
Passo 5
Cálculo do coeficiente de flexibilidade
(deflexão em
devido a uma carga unitária em
):
Calculando as partes (com as expressões de
anteriores) chega-se a
Assim
Passo 6
Compatibilidade com a mola e solução para
.
- Quando a mola está presente, deslocamento em
satisfaz
porque a presença de
(força para cima em
) reduz a deflexão. A mola fornece
. Substituindo:
Logo
Usando
,
e
:
Arredondando com razoável precisão:
(para cima).
Passo 7
Com
conhecido, obtemos as outras reações por equilíbrio estático (equilíbrio vertical e momentos).
- Soma das forças verticais:
- Momentos em torno de
(mesma convenção usada no Passo 3; agora inclui a de ): Assim
Substituindo
:
E então
Portanto, reações aproximadas:
-
(para cima), -
(para cima, força da mola), -
(para cima).
Verificação rápida (cheque de balanço):
(correto).
Passo 8
Deslocamento da mola em
:
Convertendo para centímetros:
Resposta
Deslocamento da mola em