17 - A viga abaixo tem seção retangular maciça (10 \times 20) \mathrm{cm}^{2} e seu material tem módulo de Elasticidade igual a 2,1 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. O apoio intermediário é uma mola, com constante \mathrm{K}=200 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}. Sabendo-se que \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}=-\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{EI}}:
a) Determinar todas as reações de apoio;
b) O valor do deslocamento do apoio intermediário (da mola), em cm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar todas as reações de apoio (reacções verticais nos apoios A, B e D);
  • (b) Determinar o deslocamento do apoio intermediário (a mola em B), em cm.
Informações fornecidas (peguei estes dados da figura):
  • Carga distribuída uniformemente w=600\\ \mathrm{Kgf/m} agindo sobre o trecho de 4\\ \mathrm{m} entre A e B.
  • Carga pontual P=800\\ \mathrm{Kgf} em D (extremidade direita).
  • Momento concentrado M_0=1200\\ \mathrm{Kgf\cdot m} aplicado na extremidade esquerda.
  • Distâncias (da esquerda para a direita): E (extremidade esquerda) até A: 2\\ \mathrm{m}; A até B: 4\\ \mathrm{m}; B até D: 3\\ \mathrm{m}. Portanto o vão entre A e D é L=7\\ \mathrm{m} e B está a a=4\\ \mathrm{m} de A (ou seja b=3\\ \mathrm{m}).
  • Módulo de elasticidade E=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • Seção retangular 10\times20\\ \mathrm{cm^{2}} (largura b=10\\ \mathrm{cm}, altura h=20\\ \mathrm{cm}).
  • Mola no apoio B com constante K=200\\ \mathrm{Kgf/cm}.
  • Fórmula de curvatura dada: \dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\dfrac{M(x)}{EI}.
Resumo das cargas numéricas:
  • Resultante do UDL: W = w\cdot 4 = 600\cdot4 = 2400\\ \mathrm{Kgf}.
  • Soma das cargas verticais: W + P = 2400 + 800 = 3200\\ \mathrm{Kgf}.

Passo 2

Escolha do método e conversões de unidades (muito importante para consistência).
  • Método: força-redundante (método das forças). Trato a reação vertical na mola em B como redundante R_B. Primeiro removo a mola (estrutura com apoios em A e D apenas = determinística), calculo as reações dessa estrutura determinística e a deflexão em B nessa estrutura por superposição (método do trabalho virtual / influência). Depois uso a compatibilidade R_B = K\cdot \delta_B (com \delta_B deslocamento vertical em B na estrutura real) para achar R_B.
  • Converter E, I e K para unidades em metros (para usar m nas distâncias):
    • E = 2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}} = 2{,}1\times10^{6}\times10^{4} = 2{,}1\times10^{10}\\ \mathrm{Kgf/m^{2}} (porque 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}).
    • Momento de inércia da seção retangular (em m^4): I = \dfrac{b h^{3}}{12} \quad\text{com } b=0{,}10\\ \mathrm{m},\\ h=0{,}20\\ \mathrm{m}.
I = \dfrac{0{,}10\cdot(0{,}20)^{3}}{12} = \dfrac{0{,}10\cdot0{,}008}{12} = 6{,}6666667\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Portanto EI = 2{,}1\times10^{10}\times6{,}6666667\times10^{-5} = 1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf\cdot m^{2}}.
  • Constante da mola em unidades \mathrm{Kgf/m}: K = 200\\ \mathrm{Kgf/cm} = 200\times100 = 20000\\ \mathrm{Kgf/m}.

Passo 3

Reações na estrutura determinística (estrutura sem a mola em B): apoios em A (em x=2\\ \mathrm{m}) e em D (em x=9\\ \mathrm{m}).
  • Equilíbrio vertical: R_{A0} + R_{D0} = 3200\\ \mathrm{Kgf}.
  • Equilíbrio de momentos em torno de A (tomando os momentos positivos no sentido que balanceie as cargas): a resultante do UDL 2400\\ \mathrm{Kgf} atua a 2\\ \mathrm{m} de A; a carga concentrada 800\\ \mathrm{Kgf} atua a 7\\ \mathrm{m} de A; o momento aplicado M_{0}=1200\\ \mathrm{Kgf\cdot m} também entra na soma de momentos. Assim: R_{D0}\cdot7 - (2400\cdot2) - (800\cdot7) - 1200 = 0.Resolviendo: R_{D0}\cdot7 = 4800 +5600 +1200 =11600 \quad\Rightarrow\quad R_{D0} = \dfrac{11600}{7} = 1657{,}142857\\ \mathrm{Kgf}.
R_{A0} = 3200 - R_{D0} = 3200 -1657{,}142857=1542{,}857143\\ \mathrm{Kgf}.

Passo 4

Cálculo da deflexão em B para a estrutura sem mola (chamamos isso de \delta_{0}). Usamos o método do trabalho virtual (teorema de Clapeyron): para o deslocamento no ponto B causado pelas cargas reais,
\delta_{0} = \dfrac{1}{EI}\int_{x=A}^{x=D} M_{\text{real}}(x)\,M_{\text{unit}}(x)\,\mathrm{d}x,
onde M_{\text{unit}}(x) é o momento interno devido a uma carga unitária para cima aplicada em B (estrutura com apoios em A e D).
Definimos coordenada t=x-2 (ou seja t=0 em A, t=4 em B, t=7 em D). Comprimento total entre apoios L=7, e posição da carga unitária em a=4 (distância do apoio esquerdo), com b=3.
Momentos do carregamento real (para 2\le x\le6, i.e. 0\le t\le4):
M_{\text{real}}(x)=M_{0}+R_{A0}\,t-\dfrac{w\,t^{2}}{2},
e para 6\le x\le9 (ou 4\le t\le7):
M_{\text{real}}(x)=M_{0}+R_{A0}\,t - 2400\,(t-2)\quad(\text{o termo }2400= w\cdot4).
Momentos do carregamento unitário em B:
  • Para 0\le t\le4 (esquerda da carga unitária): M_{\text{unit}}(t)=\dfrac{b}{L}\,t=\dfrac{3}{7}\,t.
  • Para 4\le t\le7 (à direita): M_{\text{unit}}(t)=\dfrac{3}{7}t - 1\cdot(t-4)=4-\dfrac{4}{7}t.
Agora calculamos a integral em duas partes:
I1 de t=0 a 4:
I_{1}=\int_{0}^{4}\big(M_{0}+R_{A0}t-\tfrac{w}{2}t^{2}\big)\cdot\big(\tfrac{3}{7}t\big)\,\mathrm{d}t.
Substituindo valores numéricos M_{0}=1200, R_{A0}=1542{,}857143, w=600, e calculando os termos, obtém-se
I_{1}\approx 9991{,}835429\\ \mathrm{(Kgf\cdot m^{3})}.
I2 de t=4 a 7:
Dar a expressão simplificada e integrar:
M_{\text{real}}(t)=6000 -857{,}142857\,t,\qquad M_{\text{unit}}(t)=4-\tfrac{4}{7}t,
I_{2}=\int_{4}^{7}\big(6000 -857{,}142857\,t\big)\big(4-\tfrac{4}{7}t\big)\,\mathrm{d}t \approx 4408{,}163274.
Somando:
\int_{2}^{9} M_{\text{real}}(x)M_{\text{unit}}(x)\,\mathrm{d}x = I_{1}+I_{2}\approx 14400\\ \mathrm{(Kgf\cdot m^{3})}.
Portanto
\delta_{0}=\dfrac{14400}{EI}=\dfrac{14400}{1{,}4\times10^{6}}=0{,}010285714\\ \mathrm{m}=1{,}0285714\\ \mathrm{cm}.
(Interpretação: sem a mola, o ponto B deslocaria para baixo aproximadamente 1{,}0286\\ \mathrm{cm}.)

Passo 5

Cálculo do coeficiente de flexibilidade a (deflexão em B devido a uma carga unitária em B):
a=\dfrac{1}{EI}\int_{2}^{9}M_{\text{unit}}(x)^{2}\,\mathrm{d}x.
Calculando as partes (com as expressões de M_{\text{unit}} anteriores) chega-se a
\int_{2}^{9}M_{\text{unit}}^{2}\,\mathrm{d}x \approx 6{,}857142857\\ \mathrm{(m^{3}\cdot Kgf^{2})}.
Assim
a = \dfrac{6{,}857142857}{1{,}4\times10^{6}} = 4{,}89795919\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Compatibilidade com a mola e solução para R_{B}.
  • Quando a mola está presente, deslocamento em B satisfaz
\delta = \delta_{0} - a\,R_{B},
porque a presença de R_{B} (força para cima em B) reduz a deflexão. A mola fornece R_{B}=K\,\delta. Substituindo:
R_{B} = K(\delta_{0} - a\,R_{B}) \quad\Rightarrow\quad R_{B}(1+K a) = K \delta_{0}.
Logo
R_{B} = \dfrac{K\,\delta_{0}}{1+K a}.
Usando K=20000\\ \mathrm{Kgf/m}, \delta_{0}=0{,}010285714\\ \mathrm{m} e a=4{,}89795919\times10^{-6}\\ \mathrm{m}:
K a = 20000\times4{,}89795919\times10^{-6} \approx 0{,}0979591838,
R_{B} = \dfrac{20000\times0{,}010285714}{1{,}0979591838}\approx 187{,}4339\\ \mathrm{Kgf}.
Arredondando com razoável precisão: R_{B}\approx187{,}43\\ \mathrm{Kgf} (para cima).

Passo 7

Com R_{B} conhecido, obtemos as outras reações por equilíbrio estático (equilíbrio vertical e momentos).
  • Soma das forças verticais: R_{A} + R_{B} + R_{D} = 3200 \quad\Rightarrow\quad R_{A}+R_{D}=3200 - R_{B}.
  • Momentos em torno de A (mesma convenção usada no Passo 3; agora inclui R_{B} a 4\\ \mathrm{m} de A): R_{D}\cdot7 + R_{B}\cdot4 - (2400\cdot2) - (800\cdot7) -1200 =0.Assim R_{D} = \dfrac{11600 - 4R_{B}}{7}.
Substituindo R_{B}=187{,}4339:
R_{D} \approx \dfrac{11600 - 4\cdot187{,}4339}{7} = \dfrac{11600 -749{,}7356}{7} = \dfrac{10850{,}2644}{7}\approx1550{,}03777\\ \mathrm{Kgf}.
E então
R_{A}=3200 - R_{B} - R_{D} \approx 3200 -187{,}4339 -1550{,}03777 =1462{,}52833\\ \mathrm{Kgf}.
Portanto, reações aproximadas:
  • R_{A}\approx1462{,}53\\ \mathrm{Kgf} (para cima),
  • R_{B}\approx187{,}43\\ \mathrm{Kgf} (para cima, força da mola),
  • R_{D}\approx1550{,}04\\ \mathrm{Kgf} (para cima).
Verificação rápida (cheque de balanço): R_{A}+R_{B}+R_{D}\approx1462{,}528+187{,}434+1550{,}038\approx3200\\ \mathrm{Kgf} (correto).

Passo 8

Deslocamento da mola em B:
\delta = \dfrac{R_{B}}{K} = \dfrac{187{,}4339\\ \mathrm{Kgf}}{20000\\ \mathrm{Kgf/m}} \approx0{,}009371695\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
\delta \approx 0{,}9371695\\ \mathrm{cm}\approx0{,}937\\ \mathrm{cm}.

Resposta

R_A = 1462{,}53\\ \mathrm{Kgf} (para cima)
R_B = 187{,}43\\ \mathrm{Kgf} (para cima, força da mola)
R_D = 1550{,}04\\ \mathrm{Kgf} (para cima)
Deslocamento da mola em B: \delta \approx 0{,}937\\ \mathrm{cm}

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