Sabendo-se que o círculo C tem seu centro no ponto A=(1,3) e passa pelo ponto P=(1,-1), dê a equação da reta r tangente a C que passa pelo ponto P, isto é, a reta r que passa pelo ponto P e é perpendicular ao seguimento A P. Determine, também a outra reta tangente a C paralela a r.

Passo 1

Resumo da questão e conceitos envolvidos:
Estamos lidando com um problema de geometria envolvendo círculos e retas tangentes. O enunciado nos fornece o centro do círculo no ponto e um ponto que pertence a esse círculo. Precisamos:
  1. Encontrar a equação da reta que é tangente a , passa pelo ponto e é perpendicular ao segmento .
  2. Determinar a outra reta tangente a que seja paralela a essa reta .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como a equação geral de uma reta, propriedades de retas tangentes a círculos e condições de perpendicularidade e paralelismo entre retas.

Passo 2

Encontrando o raio do círculo r = raiz(xP - xA)^2 + (yP - yA)^2 :
Primeiro, vamos determinar o raio do círculo r = raiz(1 - 1)^2 + (-1 - 3)^2 = raiz0 + (-4)^2 = raiz16 = 4 . Sabemos que o ponto está sobre o círculo e que é o centro.
A distância entre e é o raio do círculo. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então, o raio do círculo é 4 unidades.

Passo 3

Determinando a equação da reta mAP = yP - yAxP - xA = -1 - 31 - 1 tangente a y = -1 em :
Sabemos que a reta tangente a um círculo num ponto é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência. Então, a reta que passa por e é perpendicular a é a reta tangente que buscamos.
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . Os pontos são e .
A inclinação é dada por:
Aqui, notamos que o denominador é zero, o que significa que a reta é vertical. Portanto, a inclinação de é indefinida.
Como a reta é perpendicular a , que é vertical, deve ser uma reta horizontal. A equação de uma reta horizontal que passa pelo ponto é:

Passo 4

Encontrando a outra reta tangente paralela a d = |y0 - k| :
Já encontramos que |3 - k| = 4 é a reta 3 - k = 4 ou 3 - k = -4 . Queremos agora encontrar outra reta tangente a Rightarrow k = -1 ou k = 7 que seja paralela a y = 7 . Como é uma reta horizontal, a outra reta também será horizontal.
As retas horizontais têm a forma , onde é uma constante. Para que essa reta seja tangente ao círculo , a distância entre o centro e a reta deve ser igual ao raio .
A distância entre um ponto e uma reta é dada por:
Igualando essa distância ao raio:
Resolvendo a equação:
Já temos , que corresponde à reta . A outra reta tangente paralela é:

Resposta

A reta tangente a que passa pelo ponto é e a outra reta tangente paralela a é .

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