Sabendo-se que o círculo
tem seu centro no ponto
e passa pelo ponto
, dê a equação da reta
tangente a
que passa pelo ponto
, isto é, a reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular ao seguimento
. Determine, também a outra reta tangente a
paralela a
.
Passo 1
Resumo da questão e conceitos envolvidos:
Estamos lidando com um problema de geometria envolvendo círculos e retas tangentes. O enunciado nos fornece o centro do círculo
no ponto
e um ponto
que pertence a esse círculo. Precisamos:
- Encontrar a equação da reta
que é tangente a , passa pelo ponto e é perpendicular ao segmento . - Determinar a outra reta tangente a
que seja paralela a essa reta .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como a equação geral de uma reta, propriedades de retas tangentes a círculos e condições de perpendicularidade e paralelismo entre retas.
Passo 2
Encontrando o raio do círculo
:
Primeiro, vamos determinar o raio do círculo
. Sabemos que o ponto
está sobre o círculo e que
é o centro.
A distância entre
e
é o raio
do círculo. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então, o raio do círculo
é 4 unidades.
Passo 3
Determinando a equação da reta
tangente a
em
:
Sabemos que a reta tangente a um círculo num ponto é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência. Então, a reta
que passa por
e é perpendicular a
é a reta tangente que buscamos.
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta
. Os pontos são
e
.
A inclinação
é dada por:
Aqui, notamos que o denominador é zero, o que significa que a reta
é vertical. Portanto, a inclinação de
é indefinida.
Como a reta
é perpendicular a
, que é vertical,
deve ser uma reta horizontal. A equação de uma reta horizontal que passa pelo ponto
é:
Passo 4
Encontrando a outra reta tangente paralela a
:
Já encontramos que
é a reta
. Queremos agora encontrar outra reta tangente a
que seja paralela a
. Como
é uma reta horizontal, a outra reta também será horizontal.
As retas horizontais têm a forma
, onde
é uma constante. Para que essa reta seja tangente ao círculo
, a distância entre o centro
e a reta
deve ser igual ao raio
.
A distância
entre um ponto
e uma reta
é dada por:
Igualando essa distância ao raio:
Resolvendo a equação:
Já temos
, que corresponde à reta
. A outra reta tangente paralela é:
Resposta
A reta
tangente a
que passa pelo ponto
é
e a outra reta tangente paralela a
é
.