Sabendo que uma corrente alternada cossenoidal tem um valor eficaz de 80A, determine (a) o valor médio de um quarto de período.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma corrente alternada cossenoidal que tem um valor eficaz de 80A. A parada é determinar o valor médio em um quarto de período dessa corrente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como o valor eficaz se relaciona com o valor máximo da corrente e usar cálculo básico para encontrar a média em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor eficaz (também conhecido como valor RMS). No caso de uma corrente cossenoidal, o valor eficaz está relacionado ao valor máximo (Iₘₐx) da seguinte forma:
Queremos encontrar o Iₘₐx, então rearranjamos a fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor médio em um quarto de período. A corrente alternada cossenoidal pode ser representada matematicamente por:
Onde:
- $ \omega = \frac{2\pi}{T} $ é a frequência angular
- $ T $ é o período completo da corrente
Um quarto de período corresponde ao intervalo de $ 0 $ a $ \frac{T}{4} $.
Passo 4
O valor médio ($ I_{médio} $) em um intervalo é calculado pela integral da função dividido pelo intervalo:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Sabemos que $ \omega = \frac{2\pi}{T} $, então substituindo:
Passo 5
Agora, basta substituir o valor de $ I_{máximo} $ que encontramos:
Resposta
O valor médio de um quarto de período é aproximadamente
.