Sabendo que a equação 4 x^{2}-(m-3) x+1=0 possui exatamente uma raiz, x, determine os possíveis valores da constante m.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
4x^{2}-(m-3)x+1=0
e pede: determinar os valores de m tais que essa equação possua exatamente uma raiz x.
Informações que temos do enunciado:
  • A equação é do tipo ax^{2}+bx+c=0 com um parâmetro m.
  • O que se quer é que exista exatamente uma raiz real (isto é, a equação tenha uma única solução para x).

Passo 2

Resumo da ferramenta que vamos usar (uma mini-aula rápida sobre quadráticas).
Para uma equação quadrática geral ax^{2}+bx+c=0 com a\neq0, a solução é dada pela fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde
\Delta=b^{2}-4ac
é o discriminante. Interpretação do discriminante:
  • Se \Delta>0, a equação tem duas raízes reais distintas (os sinais + e - dão valores diferentes).
  • Se \Delta=0, a expressão \sqrt{\Delta} vale zero, então as duas fórmulas -b\pm\sqrt{\Delta} coincidem e a equação tem exatamente uma raiz real (raiz dupla).
  • Se \Delta<0, não há raízes reais (raízes complexas).
    Portanto, para que a nossa equação tenha exatamente uma raiz real, precisamos de \Delta=0. Antes disso, verifique que a\neq0 no nosso caso (se a fosse zero a equação seria linear e a análise seria outra).

Passo 3

Identificar os coeficientes da equação dada comparando com ax^{2}+bx+c=0:
a=4,\qquad b=-(m-3)=3-m,\qquad c=1.
Note que a=4\neq0, logo a equação é realmente quadrática e a análise pelo discriminante é válida.

Passo 4

Calcular o discriminante e impor a condição \Delta=0:
\Delta=b^{2}-4ac=(3-m)^{2}-4\cdot4\cdot1.
Colocando em forma mais simples:
\Delta=(m-3)^{2}-16.
Queremos \Delta=0, portanto
(m-3)^{2}-16=0.

Passo 5

Resolver a equação obtida:
(m-3)^{2}=16.
Tirando raiz quadrada (lembrando o sinal \pm):
m-3=\pm4.
Assim:
\begin{cases} m-3=4 &\Rightarrow\\ m=7,\\[4pt] m-3=-4 &\Rightarrow\\ m=-1. \end{cases}]

Passo 6

(Fixando a ideia) Quando \Delta=0 a raiz única vale
x=-\frac{b}{2a}.
Como b=3-m e a=4, temos
x=\frac{m-3}{8}.
Para m=7 obtém-se x=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
Para m=-1 obtém-se x=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}.
Ou seja, em cada caso a equação tem exatamente uma raiz (uma raiz dupla), conforme queríamos. Força aí — tu já tem os valores de m e até as raízes correspondentes!

Resposta

m=7
m=-1