Sabendo que
e
são funções contínuas no intervalo
e que satisfazem as equações
,
e
Encontre o valor de:
Encontre o valor de:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
-
e são funções contínuas no intervalo . -
. -
. -
. -
.
O que o problema pede:
- Encontrar o valor de
.
Passo 2
Propriedade fundamental dos integrais definidos que vamos usar (explicação didática):
- Para qualquer função integrável
e qualquer ponto , por definição a integral definida sobre um intervalo de comprimento zero é zero. Em notação:
Intuição simples: a integral representa uma soma (ou área) com base no comprimento do intervalo; se esse comprimento é zero, a soma tem todos os termos multiplicados por
, então o resultado é
.
Breve justificativa formal intuitiva (sem jargões técnicos demais):
- A integral de Riemann é o limite de somas do tipo
. Se o intervalo é , toda , logo cada termo da soma é zero e o limite também é zero. Portanto .
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso concreto:
- Queremos
. Isso é um integral em que os limites de integração coincidem ( e ). - Independentemente dos valores ou da continuidade de
em outros pontos, a integral sobre um intervalo de comprimento zero vale por definição/propriedade acima.
Observação sobre o domínio dado no enunciado:
- O enunciado afirma continuidade de
em , ou seja, não dá informação sobre em . Mesmo assim, a definição convencional da integral sobre um intervalo degenerate não depende do valor de em : a integral é por ser soma com largura nula. Portanto não há ambiguidade prática aqui.
Passo 4
Conclusão direta a partir do passo anterior: o valor pedido é zero.
Resposta
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