Sabendo que f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo -3 \leq x \leq 2 e que satisfazem as equações \int_{-3}^{2} f(x) d x=5, \int_{-3}^{2} g(x) d x=-2, \int_{-3}^{1} f(x) d x=0 e \int_{-3}^{1} g(x) d x=4
Encontre o valor de:
\int_{4}^{4} g(x) d x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo [-3,2].
  • \displaystyle \int_{-3}^{2} f(x)\,dx = 5.
  • \displaystyle \int_{-3}^{2} g(x)\,dx = -2.
  • \displaystyle \int_{-3}^{1} f(x)\,dx = 0.
  • \displaystyle \int_{-3}^{1} g(x)\,dx = 4.
O que o problema pede:
  • Encontrar o valor de \displaystyle \int_{4}^{4} g(x)\,dx.

Passo 2

Propriedade fundamental dos integrais definidos que vamos usar (explicação didática):
  • Para qualquer função integrável h e qualquer ponto a, por definição a integral definida sobre um intervalo de comprimento zero é zero. Em notação:
\int_{a}^{a} h(x)\,dx = 0.
Intuição simples: a integral representa uma soma (ou área) com base no comprimento do intervalo; se esse comprimento é zero, a soma tem todos os termos multiplicados por \Delta x=0, então o resultado é 0.
Breve justificativa formal intuitiva (sem jargões técnicos demais):
  • A integral de Riemann é o limite de somas do tipo \sum h(x_i^*)\Delta x_i. Se o intervalo é [a,a], toda \Delta x_i=0, logo cada termo da soma é zero e o limite também é zero. Portanto \int_a^a h(x)\,dx=0.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso concreto:
  • Queremos \displaystyle \int_{4}^{4} g(x)\,dx. Isso é um integral em que os limites de integração coincidem ( a=4 e b=4).
  • Independentemente dos valores ou da continuidade de g em outros pontos, a integral sobre um intervalo de comprimento zero vale 0 por definição/propriedade acima.
Observação sobre o domínio dado no enunciado:
  • O enunciado afirma continuidade de g em [-3,2], ou seja, não dá informação sobre g em x=4. Mesmo assim, a definição convencional da integral sobre um intervalo degenerate [4,4] não depende do valor de g em 4: a integral é 0 por ser soma com largura nula. Portanto não há ambiguidade prática aqui.

Passo 4

Conclusão direta a partir do passo anterior: o valor pedido é zero.

Resposta

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