- Sabendo-se que
e
, encontre
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada de
, ou seja, calcular
.
As informações que o enunciado fornece (vou escrever exatamente como estão, corrigindo a notação para o padrão usual) são:
As informações que o enunciado fornece (vou escrever exatamente como estão, corrigindo a notação para o padrão usual) são:
-
. -
.
Também é útil anotar uma identidade que vamos usar (isso é informação que NÃO veio explicitamente no enunciado, mas é padrão e permitida usar):
-
(ou equivalentemente ).
Passo 2
Vamos lembrar e explicar duas regras de derivação que servem aqui, de forma bem didática:
- Regra da potência composta (power rule + chain rule). Se
é uma função diferenciável e é um número real, então
Aqui
é a derivada de
. Essa fórmula é só a combinação da regra da potência com a regra da cadeia: primeiro diferencio a potência como se
fosse a variável, depois multiplico pela derivada de
.
Exemplo simples: se
então
e a fórmula dá
.
- Derivada do recíproco (caso especial acima). Se
, aplicando a regra anterior com e obtemos
Esse é um jeito rápido de derivar funções do tipo
sem precisar decorar uma nova regra.
Passo 3
Aplique a ideia do passo anterior a
. Escrevemos
Usando a regra para
com
e
, temos
Agora substituímos a derivada conhecida
:
Multiplicando os sinais:
Passo 4
Simplificar a expressão final usando identidades trigonométricas básicas. Note que
pois
e
.
Portanto a forma mais conhecida e prática da derivada é
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, mas ajuda a fixar): usar a regra do quociente com
. Se
e
, a regra do quociente diz
Aqui
e
, então
o que, como já mostramos, reduz-se a
. As duas vias batem, bom sinal!
Passo 6
Observação sobre domínio: a derivada
só faz sentido onde
está definida, isto é, onde
. Em pontos onde
(por exemplo
) a função
não é definida e, portanto, não tem derivada.
Força aí — a técnica é sempre reescrever em termos de funções conhecidas e aplicar a regra da cadeia; com prática fica automático.