1. Sabendo-se que \frac{a}{d x} \sin (x)=\cos (x) e \frac{a}{d x} \cos (x)=-\sin (x), encontre \frac{d}{d x} \operatorname{sec} (x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada de \operatorname{sec}(x), ou seja, calcular \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x).
As informações que o enunciado fornece (vou escrever exatamente como estão, corrigindo a notação para o padrão usual) são:
  • \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Também é útil anotar uma identidade que vamos usar (isso é informação que NÃO veio explicitamente no enunciado, mas é padrão e permitida usar):
  • \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} (ou equivalentemente \operatorname{sec}(x)=(\cos(x))^{-1}).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar duas regras de derivação que servem aqui, de forma bem didática:
  1. Regra da potência composta (power rule + chain rule). Se u(x) é uma função diferenciável e n é um número real, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u. Essa fórmula é só a combinação da regra da potência com a regra da cadeia: primeiro diferencio a potência como se u fosse a variável, depois multiplico pela derivada de u.
Exemplo simples: se u(x)=x^2 então u'(x)=2x e a fórmula dá \dfrac{d}{dx}(x^2)=2x.
  1. Derivada do recíproco (caso especial acima). Se h(x)=\dfrac{1}{g(x)}=g(x)^{-1}, aplicando a regra anterior com n=-1 e u=g obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right)=-1\cdot g(x)^{-2}\cdot g'(x)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2}.
Esse é um jeito rápido de derivar funções do tipo 1/g(x) sem precisar decorar uma nova regra.

Passo 3

Aplique a ideia do passo anterior a \operatorname{sec}(x). Escrevemos
\operatorname{sec}(x)=(\cos(x))^{-1}.
Usando a regra para u(x)^{n} com u(x)=\cos(x) e n=-1, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\big((\cos(x))^{-1}\big)=-1\cdot(\cos(x))^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\cos(x).
Agora substituímos a derivada conhecida \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x):
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=-1\cdot(\cos(x))^{-2}\cdot\big(-\sin(x)\big).
Multiplicando os sinais:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)^{2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão final usando identidades trigonométricas básicas. Note que
\frac{\sin(x)}{\cos(x)^{2}}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x)\tan(x),
pois \dfrac{1}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x) e \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x).
Portanto a forma mais conhecida e prática da derivada é
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas ajuda a fixar): usar a regra do quociente com \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Se u(x)=1 e v(x)=\cos(x), a regra do quociente diz
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=0 e v'=-\sin(x), então
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{0\cdot\cos(x)-1\cdot(-\sin(x))}{\cos(x)^{2}}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)^{2}},
o que, como já mostramos, reduz-se a \operatorname{sec}(x)\tan(x). As duas vias batem, bom sinal!

Passo 6

Observação sobre domínio: a derivada \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x) só faz sentido onde \operatorname{sec}(x) está definida, isto é, onde \cos(x)\neq 0. Em pontos onde \cos(x)=0 (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi) a função \operatorname{sec}(x) não é definida e, portanto, não tem derivada.
Força aí — a técnica é sempre reescrever em termos de funções conhecidas e aplicar a regra da cadeia; com prática fica automático.

Resposta

\operatorname{sec}(x)\tan(x)