Sabendo que a intensidade da força vertical \mathbf{P} é de 2 kN , determine a tensão no
ponto A

Passo 1

O enunciado pede: "determine a tensão no ponto A" sabendo que a força vertical \mathbf{P} tem intensidade 2\\ \text{kN}.
Informações relevantes dadas (pego da imagem):
  • Força: \;P=2\\ \text{kN}=2000\\ \text{N}.
  • Dimensões extraídas da imagem (detalhes na seção de imagens): \;18\\ \text{mm},\;40\\ \text{mm},\;12\\ \text{mm},\;12\\ \text{mm}.
O que será calculado:
  • A tensão no ponto A resultante da combinação da tensão axial (compressão uniforme por P) e da tensão por flexão (momento gerado pela excentricidade da força em relação ao centro da seção).
    Não foram indicadas outras cargas ou torques, então assumiremos que a única contribuição além da tensão axial é a flexão causada pela excentricidade horizontal da força.

Passo 2

Interpretação geométrica e hipóteses (explicando cada escolha):
  • A seção transversal no plano onde se localiza A,B,D será tratada como retangular, com dimensões:
    • largura (espessura, no sentido perpendicular ao plano da figura) b=18\\ \text{mm} (peguei este valor na imagem),
    • altura (distância entre as fibras que contêm A e D) h=40\\ \text{mm} (peguei este valor na imagem).
      Essas escolhas seguem a aparência da peça na figura: A e D são as fibras extremas do retângulo de dimensão 40\\ \text{mm} no sentido da flexão e 18\\ \text{mm} é a espessura perpendicular.
  • A força P está deslocada horizontalmente em relação ao centro da seção. Pela imagem há duas setas de 12\\ \text{mm} que indicam distâncias que levam ao alinhamento vertical da força; portanto tomo a excentricidade total entre a linha de ação de P e o centro da seção como e=12+12=24\\ \text{mm} (peguei os dois 12\\ \text{mm} da imagem e somei para obter a excentricidade).
  • Centróide da seção retangular fica em seu meio; a distância da linha neutra (centro) até a fibra extrema (ponto A) é y=\dfrac{h}{2}=20\\ \text{mm}.
Observação: se a peça tiver orientação diferente, os passos são os mesmos; apenas mudam b,h,e. Estou seguindo estritamente os comprimentos mostrados na imagem.

Passo 3

Cálculo das propriedades geométricas da seção (fórmulas e explicação):
  • Área da seção transversal \,A_s\, (aqui A_s é área, não confundir com o ponto A): A_s = b\cdot h.Explicação: para um retângulo, área é produto da largura pela altura. Onde b é a dimensão perpendicular ao plano de flexão e h a dimensão na direção da flexão.
  • Momento de inércia da seção retangular em torno do eixo neutro que passa pelo centróide e é paralelo à largura (ou seja, para flexão que produz tensões variando ao longo de h): I = \frac{b\,h^{3}}{12}.Explicação: fórmula padrão para retângulo; I mede a “resistência” geométrica à flexão ao redor do eixo neutro.
Agora substituindo os valores (todos os números escritos em TeX):
A_s = b\cdot h = 18\\ \text{mm}\times 40\\ \text{mm} = 720\\ \text{mm}^2.
I = \frac{b\,h^{3}}{12} = \frac{18\cdot 40^{3}}{12}\\ \text{mm}^4.
Calcule 40^{3}=64\,000, então
I = \frac{18\cdot 64\,000}{12} = \frac{1\,152\,000}{12} = 96\,000\\ \text{mm}^4.

Passo 4

Cálculo das tensões separadas:
  1. Tensão axial média (compressiva) devido à força P:
  • Fórmula: \sigma_{\text{ax}} = -\frac{P}{A_s}.Explicação: sinal negativo para compressão (vou adotar a convenção: compressão negativa ou positiva? Aqui vou explicitar: tomarei compressão como positiva; para facilitar interpretação final direi se o resultado é compressivo ou trativo). Para manter clareza, vou assumir que compressão é positiva; então \sigma_{\text{ax}} = \frac{P}{A_s}.Substituindo: \sigma_{\text{ax}}=\frac{2000\\ \text{N}}{720\\ \text{mm}^2}= \frac{2000}{720}\\ \text{N/mm}^2.
\sigma_{\text{ax}} \approx 2{,}7778\\ \text{N/mm}^2 = 2{,}78\\ \text{MPa} \quad(\text{compressão}).ã
  1. Tensão por flexão simples (fibras extremas) devido ao momento de flexão M:
  • Momento provocado pela excentricidade: M = P\cdot e.Substituindo P=2000\\ \text{N} e e=24\\ \text{mm}: M = 2000\cdot 24 = 48\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Tensão por flexão na fibra a distância y do neutro: \sigma_{\text{b}} = \frac{M\,y}{I}.Onde y=20\\ \text{mm} (distância do centro até A). Substituindo: \sigma_{\text{b}}=\frac{48\,000\cdot 20}{96\,000}\\ \text{N/mm}^2.Calcule numerador 48\,000\cdot 20 = 960\,000. Então \sigma_{\text{b}}=\frac{960\,000}{96\,000}=10{,}0\\ \text{N/mm}^2 = 10{,}0\\ \text{MPa}.Explicação do sinal: a flexão causa compressão em uma face e tração na outra. Como a força P está deslocada para a direita (pegado da imagem), o lado direito fica mais comprimido e o lado esquerdo ( A) fica tracionado. Portanto em A a contribuição da flexão é de 10{,}0\\ \text{MPa} de tração.

Passo 5

Combinação das tensões (superposição linear):
  • A tensão total em A é a soma da tensão média axial (compressiva) e da tensão por flexão (tensional neste ponto). Usando sinais: compressão positiva +, tração negativa -. Temos: \sigma_{\text{total}} = \sigma_{\text{ax}} - \sigma_{\text{b}},porque \sigma_{\text{ax}} é compressiva +2{,}78\\ \text{MPa} e \sigma_{\text{b}} é tração 10{,}0\\ \text{MPa}. \sigma_{\text{total}} = 2{,}7778 - 10{,}0 = -7{,}2222\\ \text{MPa}.Ou arredondando com dois decimais: \sigma_{\text{total}} \approx -7{,}22\\ \text{MPa}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o ponto A está em tração, com magnitude 7{,}22\\ \text{MPa}. Ou seja, embora exista uma componente compressiva média, a flexão excede essa compressão no ponto A e o deixa tracionado.

Passo 6

Resumo da metodologia (para usar na prova, passo a passo rápido):
  • Identifique a seção transversal onde está A.
  • Calcule A_s (área) e I (momento de inércia) da seção.
  • Determine a excentricidade e entre a linha de ação de P e o centróide da seção; o momento é M=Pe.
  • Calcule a tensão média axial \sigma_{\text{ax}}=P/A_s.
  • Calcule a tensão de flexão na fibra desejada \sigma_{\text{b}}=M y/I (onde y é distância do neutro até a fibra).
  • Some as contribuições com os sinais corretos (compressão positiva, tração negativa, por exemplo) para obter \sigma_{\text{total}}.

Resposta

\sigma_A \approx -7{,}22\\ \text{MPa} (tensão de tração de 7{,}22\\ \text{MPa} no ponto A).

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