Sabendo que A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), calcule A^{10}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e pede A^{10}. Vamos usar diagonalização: achar autovalores e autovetores de A, escrever A = P\,D\,P^{-1} e então
A^{10} = P\,D^{10}\,P^{-1}.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2 - \lambda - 2.
As raízes são
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 3

Para \lambda_1=2, o autovetor satisfaz (A-2I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \implies y=2x,
escolhemos v_1=(1,2).
Para \lambda_2=-1, temos (A+I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \implies y=-x,
escolhemos v_2=(1,-1).
Definimos
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix}
e calcula-se
\det P = -3, \quad P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix}-1 & -1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\\ 2/3 & -1/3\end{pmatrix}.

Passo 4

O bloco diagonal é
D = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix},
logo
D^{10} = \begin{pmatrix}2^{10} & 0\\\ 0 & (-1)^{10}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1024 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos primeiro P\,D^{10}:
P\,D^{10} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1024 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1024 & 1\\\ 2048 & -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente
A^{10} = P\,D^{10}\,P^{-1} = \begin{pmatrix}1024 & 1\\\ 2048 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\\ 2/3 & -1/3\end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações de linha por coluna:
A^{10} = \begin{pmatrix} 1024\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{2}{3} & 1024\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\\[6pt] 2048\cdot\frac{1}{3} + (-1)\cdot\frac{2}{3} & 2048\cdot\frac{1}{3} + (-1)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}342 & 341\\\ 682 & 683\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{10} = \begin{pmatrix}342 & 341\\\ 682 & 683\end{pmatrix}

Exercícios relacionados