Sabendo que \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, calcule os valores dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{\sqrt{3}}{x}\Bigr)^{2x}
Sabemos que o conteúdo é limite do tipo \bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{t} que tende a e.

Passo 2

Reescrevemos a potência de modo a usar o limite fundamental:
\Bigl(1+\tfrac{\sqrt{3}}{x}\Bigr)^{2x} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{\sqrt{3}}{x}\bigr)^{\frac{x}{\sqrt{3}}}\Bigr]^{2\sqrt{3}}.

Passo 3

Definindo t = x/\sqrt{3}, quando x\to+\infty temos t\to+\infty e
\bigl(1+\tfrac{\sqrt{3}}{x}\bigr)^{\frac{x}{\sqrt{3}}} =\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{t}\;\xrightarrow[t\to+\infty]{}\;e.

Passo 4

Portanto
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{\sqrt{3}}{x}\Bigr)^{2x} =\bigl(e\bigr)^{2\sqrt{3}} =e^{2\sqrt{3}}.

Resposta

e^{2\sqrt{3}}

Exercícios relacionados