Sabendo que o Cu tem estrutura cristalina CFC com parâmetro de rede 0,36151 nm , qual a temperatura necessária para gerar 1000 vezes mais vacância no Cu do que as já existentes a
?
Dados:
e energia de ativação
produzir vacâncias no
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pedido: determinar a temperatura à qual o cobre (Cu) terá
vezes mais vacâncias do que a quantidade de vacâncias já existente a . - Dados fornecidos:
- parâmetro de rede:
(informação dada, mas não será necessária no cálculo pedido); - constante dos gases:
; - energia de ativação para produzir vacâncias no Cu:
.
- parâmetro de rede:
- Observação sobre unidades: vou converter
para para ficar compatível com : - Temperatura inicial:
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
- Em equilíbrio, a concentração de vacâncias (fração de sites que são vacância) tem dependência exponencial com a temperatura, do tipo
onde: -
é a concentração de vacâncias a temperatura ; -
é a energia de formação de uma vacância por mol (aqui em ); -
é a constante dos gases ( ); -
é a temperatura em kelvin.
-
- Assim, se
é a concentração a e a concentração a , a razão entre elas é (Isto vem diretamente da divisão de duas exponenciais .) - No problema queremos
. Substituindo na relação:
Passo 3
Isolar
(álgebra organizada):
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
- Reescrevendo para
: - Finalmente:
Passo 4
Substituir números e calcular passo a passo (com cuidado nas unidades):
- Primeiro os valores numéricos que vamos usar:
- Calcular
: - Calcular
: - Multiplicar
: - Calcular
: - Subtrair para obter
: - Inverter para achar
:
Passo 5
Converter para Celsius e comentar o resultado:
- Em graus Celsius:
- Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, para o cobre com a energia de formação de vacâncias dada, ao aquecer de
para cerca de a concentração de vacâncias aumenta em mil vezes — a dependência exponencial faz mudanças de temperatura moderadas produzirem grandes mudanças na concentração. Vai dar tudo certo na prova — lembra desse procedimento: escrever a razão das concentrações, usar exponencial/ln e isolar a temperatura.