Sabendo que o Cu tem estrutura cristalina CFC com parâmetro de rede 0,36151 nm , qual a temperatura necessária para gerar 1000 vezes mais vacância no Cu do que as já existentes a 25^{\circ} \mathrm{C} ?
Dados: \mathrm{R}=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} e energia de ativação \mathrm{p} / produzir vacâncias no \mathrm{Cu}= 20 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pedido: determinar a temperatura à qual o cobre (Cu) terá 1000 vezes mais vacâncias do que a quantidade de vacâncias já existente a 25^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos:
    • parâmetro de rede: 0{,}36151\\ \text{nm} (informação dada, mas não será necessária no cálculo pedido);
    • constante dos gases: R = 1{,}987\\ \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1};
    • energia de ativação para produzir vacâncias no Cu: Q = 20\\ \text{kcal}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Observação sobre unidades: vou converter Q para \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1} para ficar compatível com R: Q = 20\\ \text{kcal}\cdot\text{mol}^{-1} = 20000\\ \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \text{K}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
  • Em equilíbrio, a concentração de vacâncias (fração de sites que são vacância) tem dependência exponencial com a temperatura, do tipo c(T) \propto \exp\!\left(-\frac{Q}{R T}\right),onde:
    • c(T) é a concentração de vacâncias a temperatura T;
    • Q é a energia de formação de uma vacância por mol (aqui em \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1});
    • R é a constante dos gases ( \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1});
    • T é a temperatura em kelvin.
  • Assim, se c_1 é a concentração a T_1 e c_2 a concentração a T_2, a razão entre elas é \frac{c_2}{c_1}=\exp\!\left(-\frac{Q}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).(Isto vem diretamente da divisão de duas exponenciais \exp(-Q/RT_2)/\exp(-Q/RT_1).)
  • No problema queremos c_2 = 1000\,c_1. Substituindo na relação: 1000 = \exp\!\left(-\frac{Q}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).

Passo 3

Isolar T_2 (álgebra organizada):
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados: \ln 1000 = -\frac{Q}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
  • Reescrevendo para \dfrac{1}{T_2}: \frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} - \frac{R}{Q}\,\ln 1000.
  • Finalmente: T_2 = \frac{1}{\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{R}{Q}\,\ln 1000 }.

Passo 4

Substituir números e calcular passo a passo (com cuidado nas unidades):
  • Primeiro os valores numéricos que vamos usar: Q = 20000\\ \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1},\qquad R = 1{,}987\\ \text{cal}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, \qquad T_1 = 298{,}15\\ \text{K}.
  • Calcular \ln 1000: \ln 1000 = \ln(10^3) = 3\ln 10 \approx 6{,}907755.
  • Calcular \dfrac{R}{Q}: \frac{R}{Q} = \frac{1{,}987}{20000} = 0{,}00009935\\ \text{K}^{-1}.
  • Multiplicar \dfrac{R}{Q}\ln 1000: \frac{R}{Q}\ln 1000 \approx 0{,}00009935 \times 6{,}907755 \approx 0{,}0006862865\\ \text{K}^{-1}.
  • Calcular \dfrac{1}{T_1}: \frac{1}{T_1} = \frac{1}{298{,}15} \approx 0{,}003354016\\ \text{K}^{-1}.
  • Subtrair para obter \dfrac{1}{T_2}: \frac{1}{T_2} = 0{,}003354016 - 0{,}0006862865 = 0{,}0026677295\\ \text{K}^{-1}.
  • Inverter para achar T_2: T_2 = \frac{1}{0{,}0026677295} \approx 374{,}82\\ \text{K}.

Passo 5

Converter para Celsius e comentar o resultado:
  • Em graus Celsius: T_2 = 374{,}82\\ \text{K} - 273{,}15 = 101{,}67^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, para o cobre com a energia de formação de vacâncias dada, ao aquecer de 25^\circ\mathrm{C} para cerca de 102^\circ\mathrm{C} a concentração de vacâncias aumenta em mil vezes — a dependência exponencial faz mudanças de temperatura moderadas produzirem grandes mudanças na concentração. Vai dar tudo certo na prova — lembra desse procedimento: escrever a razão das concentrações, usar exponencial/ln e isolar a temperatura.

Resposta

T_2 \approx 374{,}82\\ \text{K} \simeq 101{,}67^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados