Sabendo que a tração no cabo B C é 450 N , determine as componentes da força exercida na placa em C.

Passo 1

O que o problema pede: determinar as componentes da força que o cabo BC exerce na placa em C (isto é, F_x, F_y e F_z).
Informações dadas (peguei os dados da imagem):
  • A tração no cabo BC é 450\\ \text{N}.
  • A placa é retangular com dimensões ao longo do eixo x: A até C =3,6\\ \text{m} (logo a coordenada x de C é 3,6 se tomarmos A em x=0).
  • A outra dimensão da placa (no eixo z) é 1,6\\ \text{m} (logo o centro da placa O tem coordenada z=0,8).
  • O ponto B está verticalmente acima do centro O da placa e apoiado na barra superior a 1,6\\ \text{m} acima da placa (peguei que a altura de B em relação à placa é 1,6\\ \text{m}).
  • Portanto, pela figura tomo as posições (origem na placa em A, com eixos x para a direita, y para cima, z para trás): C=(3,6,\;0,\;0), O=(1,8,\;0,\;0,8) e B=(1,8,\;1,6,\;0,8).
  • Observação: peguei explicitamente os valores 3,6\\ \text{m}, 1,6\\ \text{m} e 0,8\\ \text{m} da imagem.

Passo 2

Estratégia de resolução (breve, sem resolver ainda): a força no ponto C tem direção do cabo BC e módulo igual à tração T=450\\ \text{N}. Assim calculamos o vetor \overrightarrow{BC}, obtemos o seu versor (vetor unitário) \hat{u}_{BC} e então \vec{F}=T\,\hat{u}_{BC}. Vou mostrar como obter cada componente passo a passo.

Passo 3

Calcular o vetor posição de B e de C e então o vetor \overrightarrow{BC}. Usando as coordenadas do Passo 1:
B = (1{,}8,\;1{,}6,\;0{,}8),\qquad C = (3{,}6,\;0,\;0).
O vetor que vai de C até B é
\overrightarrow{BC}=B-C=(1{,}8-3{,}6,\;1{,}6-0,\;0{,}8-0)=(-1{,}8,\;1{,}6,\;0{,}8).

Passo 4

Explicar o porquê de usar o vetor unitário: a tração T é a intensidade da força ao longo da direção do cabo; para obter as componentes cartesianas multiplicamos T pelo vetor unitário na direção BC. O vetor unitário é o vetor \overrightarrow{BC} dividido pelo seu comprimento.

Passo 5

Calcular o comprimento (norma) de \overrightarrow{BC}:
\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{(-1{,}8)^2+(1{,}6)^2+(0{,}8)^2} =\sqrt{1{,}8^2+1{,}6^2+0{,}8^2}.
Agora as contas:
1{,}8^2=3{,}24,\quad 1{,}6^2=2{,}56,\quad 0{,}8^2=0{,}64,
\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{3{,}24+2{,}56+0{,}64}=\sqrt{6{,}44}=2{,}539685\ldots

Passo 6

Calcular o vetor unitário \hat{u}_{BC}:
\hat{u}_{BC}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BC}\|} =\left(\frac{-1{,}8}{2{,}539685\ldots},\;\frac{1{,}6}{2{,}539685\ldots},\;\frac{0{,}8}{2{,}539685\ldots}\right).
Fazendo as divisões (arredondando razoavelmente):
\hat{u}_{BC}\approx(-0{,}7090,\;0{,}6302,\;0{,}3151).

Passo 7

Agora obtemos a força \vec{F} na placa em C multiplicando a tração T=450\\ \text{N} pelo versor:
\vec{F}=T\,\hat{u}_{BC}=450\cdot(-0{,}7090,\;0{,}6302,\;0{,}3151).

Passo 8

Calcular as componentes numéricas:
F_x=450\times(-0{,}7090)\approx -319{,}05\\ \text{N},
F_y=450\times 0{,}6302\approx 283{,}59\\ \text{N},
F_z=450\times 0{,}3151\approx 141{,}80\\ \text{N}.
Interpretação dos sinais: F_x negativo indica que a força aponta no sentido negativo do eixo x (ou seja, para a esquerda olhando o diagrama), F_y positivo é para cima e F_z positivo é para o sentido positivo de z (para trás na figura).

Resposta

F_x = -319{,}0\\ \text{N}
F_y = 283{,}6\\ \text{N}
F_z = 141{,}8\\ \text{N}

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