Sabendo que (u, v, w)=-3, determine
© (3 w+2 v, v,-2 u).

Passo 1

Beleza, então o enunciado está pedindo para calcular o produto misto (3 w + 2 v, v, -2 u), sabendo que (u, v, w) = -3. A matéria aqui é produtos vetoriais e mistos, especificamente como eles se comportam quando fazemos combinações lineares dos vetores. Vamos precisar usar as propriedades de linearidade do produto misto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a propriedade de linearidade no primeiro vetor do produto misto. Isso significa que podemos distribuir o produto misto sobre a soma dos vetores:
(3 w + 2 v, v, -2 u) = 3 (w, v, -2 u) + 2 (v, v, -2 u)

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo. Note que o produto misto (v, v, -2 u) é zero, porque o produto misto é zero se dois dos vetores são iguais (neste caso, v aparece duas vezes):
3 (w, v, -2 u) + 2 times 0 = 3 (w, v, -2 u)

Passo 4

Em seguida, vamos fatorar os escalares dentro do produto misto. Lembre-se que multiplicar um vetor por um escalar no produto misto significa que podemos levar o escalar para fora:
3 (w, v, -2 u) = 3 times (-2) (w, v, u) = -6 (w, v, u)

Passo 5

Agora, precisamos lembrar que o produto misto é antissimétrico em relação à permutação de vetores. Ou seja, se trocarmos a ordem dos vetores, mudamos o sinal:
(w, v, u) = - (u, v, w)
Sabemos que (u, v, w) = -3, então:
-6 (w, v, u) = -6 times (- (-3)) = -6 times 3 = -18

Resposta

O valor de (3 w+2 v, v,-2 u) é -18.

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