(Sadiku - 5.19) Uma esfera de raio a e constante dielétrica \varepsilon_{\mathrm{r}} tem uma densidade uniforme de carga de \rho_{0}
a) No centro da esfera, demonstre que:
V=\frac{\rho_{\mathrm{o}} a}{6 \varepsilon_{\mathrm{o}} \varepsilon_{r}}\left(2 \varepsilon_{r}+1\right)
b) Determine o potencial na superfície da esfera
Resp = b) V(a)=\rho_{0} a^{2} / 3 \varepsilon_{0}

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de raio a preenchida por um dielétrico de constante relativa \varepsilon_{r} e com densidade volumétrica de carga livre \rho_{0}. Queremos o potencial elétrico V(r) ao longo do eixo radial, em particular em r=0 (centro) e em r=a (superfície). Para isso vamos usar a lei de Gauss em meios dielétricos para obter o campo \mathbf{E}(r) e depois integrar
V(b)-V(a) \;=\; -\int_{a}^{b}\!E(r)\,dr
com condição de V(\infty)=0.

Passo 2

Calcular o campo dentro da esfera ( r\le a).
Pela lei de Gauss em dielétrico:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, int}}
com \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}\,\mathbf{E} e
Q_{\text{livre, int}}=\rho_{0}\,\frac{4\pi r^{3}}{3}\,.
Num cilindro esférico de raio r:
D(r)\,4\pi r^{2}=\rho_{0}\,\frac{4\pi r^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad D(r)=\frac{\rho_{0}\,r}{3} \quad\Longrightarrow\quad E_{\text{in}}(r)=\frac{D(r)}{\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}} =\frac{\rho_{0}\,r}{3\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}}\,.

Passo 3

Calcular o campo fora da esfera ( r\ge a).
Agora toda a carga Q está dentro de r=a:
Q=\rho_{0}\,\frac{4\pi a^{3}}{3}\,,
e em vácuo \mathbf{E} satisfaz
E_{\text{out}}(r)\,4\pi r^{2}=Q/\varepsilon_{0} \quad\Longrightarrow\quad E_{\text{out}}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} =\frac{\rho_{0}\,a^{3}}{3\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,.

Passo 4

Determinar V(a) usando V(\infty)=0.
V(a)=-\int_{\infty}^{a}E_{\text{out}}(r)\,dr =\int_{a}^{\infty}\frac{\rho_{0}\,a^{3}}{3\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,dr =\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{3\,\varepsilon_{0}}\,.

Passo 5

Determinar V(0) a partir de V(a).
V(0)-V(a)=-\int_{a}^{0}E_{\text{in}}(r)\,dr =\int_{0}^{a}\frac{\rho_{0}\,r}{3\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}}\,dr =\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{6\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}}\,.
Logo
V(0) =V(a)+\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{6\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}} =\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{3\,\varepsilon_{0}} +\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{6\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}} =\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{6\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}} \bigl(2\,\varepsilon_{r}+1\bigr)\,.

Resposta

b) \displaystyle V(a)=\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{3\,\varepsilon_{0}}

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