(Sadiku - 5.33) Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio 5 cm , está carregada com uma carga total de 12 nC , uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:
a) |D| sobre a superfície da esfera
b) D externo à esfera
c) a energia total armazenada no campo.
Resp: a) D=381,97 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} b) D_{r}=0.95 / \mathrm{r}^{2} \mathbf{a}_{\mathrm{r}} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{c} ) We =12.96 \mu \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora de prata, em espaço livre, de raio a=5\,\text{cm}=0{,}05\,\text{m}, carregada com carga total Q=12\,\text{nC}=12\times10^{-9}\,\text{C} distribuída uniformemente na sua superfície.
O conteúdo é eletrostática em meios lineares (vácuo), em que vale a lei de Gauss para o vetor deslocamento:
\div D = \rho_{f},
e, no caso de condutor, toda carga livre está na superfície, de modo que a componente normal de D justo na superfície satisfaz
D_{n}=\sigma_{f},
onde \sigma_{f}=Q/(4\pi a^{2}). Para a energia usamos
W_e=\frac{1}{2}\int_{V}D\cdot E\,dV
ou a expressão clássica da energia da esfera carregada
W_e=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}a}.

Passo 2

Para r=a (sobre a superfície) temos
|D|=\sigma_{f}=\frac{Q}{4\pi a^{2}}.
Substituindo Q=12\times10^{-9}\,\text{C} e a=0{,}05\,\text{m}:
|D|=\frac{12\times10^{-9}}{4\pi(0{,}05)^{2}} \approx3{,}8197\times10^{-7}\,\frac{\text{C}}{\text{m}^{2}} =381{,}97\,\frac{\text{nC}}{\text{m}^{2}}.

Passo 3

Para r\ge a (fora da esfera), a simetria esférica e a lei de Gauss dão
D(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\;\mathbf{a}_{r}.
Em unidades de \text{nC}/\text{m}^{2}, com Q=12\,\text{nC}:
D(r)=\frac{12}{4\pi}\,\frac{1}{r^{2}}\,\mathbf{a}_{r} \approx\frac{0,95}{r^{2}}\;\mathbf{a}_{r}\quad\frac{\text{nC}}{\text{m}^{2}}.

Passo 4

Para a energia total usamos
W_e=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}a}.
Com \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m}, Q=12\times10^{-9}\,\text{C} e a=0{,}05\,\text{m}:
W_e =\frac{(12\times10^{-9})^{2}}{8\pi(8{,}854\times10^{-12})(0{,}05)} \approx1,296\times10^{-5}\,\text{J} =12{,}96\,\mu\text{J}.

Resposta

a) \displaystyle |D|=381{,}97\;\text{nC/m}^{2}
b) \displaystyle D(r)=\frac{0{,}95}{r^{2}}\;\mathbf{a}_{r}\;\text{nC/m}^{2},\quad r\ge a
c) \displaystyle W_e=12{,}96\;\mu\text{J}

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