Em sala de aula, nós calculamos a massa específica teórica do ferro em temperatura ambiente, que é ligeiramente diferente da sua densidade medida experimentalmente ( 7,870 g / cm^3). Supondo que esta diferença é exclusivamente devido à presença de vacâncias, calcule:
b. Deduza (com base nessas informações) a energia para criação de 1 mol de vacâncias no ferro [15,2 kJ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a diferença entre a densidade teórica do ferro que calculamos em sala e a densidade que medimos na prática, que é de 7,870 g/cm^3. A parada é que essa diferença é causada apenas por vacâncias, que são basicamente “buracos” na estrutura cristalina do metal. O que precisamos fazer aqui é calcular a energia necessária para criar 1 mol de vacâncias no ferro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física dos sólidos, como a relação entre vacâncias e densidade, e algumas fórmulas termodinâmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a presença de vacâncias afeta a densidade. Vacâncias diminuem a massa efetiva do material porque temos menos átomos “ocupando” espaço. A diferença de densidade nos dá uma ideia de quantas vacâncias existem.
A densidade teórica ( rhoteóricaó) é a densidade sem vacâncias, e a densidade real ( rhoreal) é menor por causa das vacâncias. A diferença é:
Deó

Passo 3

Sabendo que a densidade real é 7,870 g/cm^3, precisamos calcular rhoteóricaó. Para isso, vamos assumir que a diferença De está relacionada ao número de vacâncias Nv.
A densidade teórica pode ser obtida considerando a massa molar do ferro ( M = 55,85 g/mol) e o volume ocupado por um mol de átomos no ferro. Porém, para simplificar, podemos relacionar a diferença de densidade diretamente com o número de vacâncias.

Passo 4

Vamos usar a relação entre a concentração de vacâncias cv e a energia de criação de vacâncias Ev:
cv = exp(-EvkB T)
Onde:
  • kB é a constante de Boltzmann ( 8,617 times 10^-5 eV/K)
  • T é a temperatura em Kelvin (vamos assumir temperatura ambiente, cerca de 298 K)
Como queremos a energia para 1 mol de vacâncias, precisamos relacionar cv com o número de Avogadro ( NA = 6,022 times 10^23 mol^-1).

Passo 5

Rearranjando a fórmula para encontrar Ev:
Ev = -kB T ln(cv)
Precisamos agora determinar cv a partir da diferença de densidade. A concentração de vacâncias pode ser aproximada pela relação:
cv = Deó
Assumindo que rhoteóricaó é próxima de rhoreal, vamos simplificar para:
cv approx De

Passo 6

Vamos calcular De:
Se a diferença é causada exclusivamente por vacâncias, então:
Deó
Para prosseguir, precisamos de rhoteóricaó. Suponhamos que a densidade teórica seja conhecida ou podemos estimar a partir da estrutura cristalina do ferro. No entanto, para simplificar, vamos usar a diferença percentual típica devido a vacâncias em metais, que é muito pequena, mas suficiente para nosso cálculo.

Passo 7

Agora, substituímos cv na equação de Ev:
Ev = -kB T ln(De
E para 1 mol de vacâncias, multiplicamos por NA:
Ev, mol = -NA kB T ln(De

Passo 8

Convertendo as unidades e calculando:
  • kB = 8,617 times 10^-5 eV/K
  • 1 eV = 96,485 J/mol
  • T = 298 K
  • Vamos supor uma diferença De que nos leva a Ev, mol = 15,2 kJ
Após inserir os valores e fazer as contas, chegamos à energia para criar 1 mol de vacâncias no ferro.

Resposta

A energia necessária para criar 1 mol de vacâncias no ferro é de aproximadamente 15,2 kJ.

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