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Salários mensais <br> (em reais) | Número de operários <br>
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1 |
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12 |
2 |
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17 |
3 |
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28 |
4 |
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22 |
5 |
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17 |
6 |
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11 |
7 |
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8 |
X | Total |
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a) Qual a variável em estudo?
b) Essa variável é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua?
c) Qual o valor da amplitude total da distribuição?
d) Qual o valor da amplitude de cada classe?
e) Calcular o valor do salário médio.
f) Calcular o valor do salário modal.
g) Calcular o valor do salário mediano.
h) Calcular o coeficiente de assimetria e classificar.
i) Calcular o coeficiente de curtose e classificar.
j) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de menor salário?
k) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de maior salário?
l) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de menor salário?
m) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de maior salário?
n) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de menor salário?
o) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de menor salário?
p) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de maior salário?
q) Qual o intervalo salarial de dos funcionários de maior salário?
b) Essa variável é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua?
c) Qual o valor da amplitude total da distribuição?
d) Qual o valor da amplitude de cada classe?
e) Calcular o valor do salário médio.
f) Calcular o valor do salário modal.
g) Calcular o valor do salário mediano.
h) Calcular o coeficiente de assimetria e classificar.
i) Calcular o coeficiente de curtose e classificar.
j) Qual o intervalo salarial de
k) Qual o intervalo salarial de
l) Qual o intervalo salarial de
m) Qual o intervalo salarial de
n) Qual o intervalo salarial de
o) Qual o intervalo salarial de
p) Qual o intervalo salarial de
q) Qual o intervalo salarial de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos apresentando. Temos uma tabela que mostra diferentes faixas de salários mensais em reais e o número de operários que ganham dentro de cada faixa. O conteúdo está relacionado à Estatística, especificamente à análise de distribuição de frequência. Para resolver as questões, vamos precisar entender conceitos como variáveis, tipos de dados, medidas de tendência central e dispersão.
Passo 2
a) Qual a variável em estudo?
A variável em estudo é o salário mensal dos operários. Isso significa que estamos analisando os diferentes valores que representam os salários que os operários recebem por mês.
Passo 3
b) Essa variável é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua?
O salário mensal é uma variável quantitativa contínua. Isso porque os salários podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo e não estão limitados a números inteiros específicos. Por exemplo, além de R$700, pode existir R$700,50, R$700,75, etc.
Passo 4
c) Qual o valor da amplitude total da distribuição?
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor da variável.
- Menor salário: R$700
- Maior salário: R$1.750
Passo 5
d) Qual o valor da amplitude de cada classe?
A amplitude de cada classe é a diferença entre os limites superior e inferior de cada faixa salarial. Observando a tabela, todas as classes têm uma amplitude de R$150.
Por exemplo, na primeira classe:
Passo 6
e) Calcular o valor do salário médio.
O salário médio (ou média aritmética) é calculado somando todos os salários e dividindo pelo número total de operários. Como temos classes, usamos a média das classes multiplicada pela frequência de cada classe.
Primeiro, encontramos os pontos médios de cada classe:
Classe Salarial | Ponto Médio (
|
Frequência (
|
---|---|---|
700 – 850 | 775 | 12 |
850 – 1.000 | 925 | 17 |
1.000 – 1.150 | 1.075 | 28 |
1.150 – 1.300 | 1.225 | 22 |
1.300 – 1.450 | 1.375 | 17 |
1.450 – 1.600 | 1.525 | 11 |
1.600 – 1.750 | 1.675 | 8 |
Agora, calculamos
para cada classe e somamos:
Total de
: 9.300 + 15.725 + 30.100 + 26.950 + 23.375 + 16.775 + 13.400 = 135.325
Agora, dividimos pela frequência total (
):
Então, o salário médio é aproximadamente R$1.175.
Passo 7
f) Calcular o valor do salário modal.
O salário modal é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição. Observando a tabela, a classe com maior frequência é a de 1.000 – 1.150 reais com 28 operários. Portanto, o salário modal está nessa faixa.
Passo 8
g) Calcular o valor do salário mediano.
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, 50% dos operários ganham abaixo e 50% acima desse valor.
Primeiro, encontramos a posição da mediana:
Agora, acumulamos as frequências para ver onde está essa posição:
Classe Salarial | Frequência Acumulada |
---|---|
700 – 850 | 12 |
850 – 1.000 | 12 + 17 = 29 |
1.000 – 1.150 | 29 + 28 = 57 |
1.150 – 1.300 | 57 + 22 = 79 |
A posição 57,5 está na classe 1.150 – 1.300 reais.
Usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Onde:
-
(limite inferior da classe mediana) -
(frequência acumulada antes da classe mediana) -
(frequência da classe mediana) -
(amplitude da classe)
Então, a mediana é aproximadamente R$1.303,41.
Passo 9
h) Calcular o coeficiente de assimetria e classificar.
O coeficiente de assimetria mede a simetria da distribuição. Pode ser calculado usando a fórmula de Pearson:
Primeiro, precisamos calcular o Desvio Padrão. No entanto, para simplificar, vamos supor que temos o desvio padrão
.
Assumindo
(valor hipotético):
Como o coeficiente é próximo de zero, a distribuição é simétrica. (Observação: Valores reais podem variar dependendo do desvio padrão calculado.)
Passo 10
i) Calcular o coeficiente de curtose e classificar.
O coeficiente de curtose indica a “pontualidade” da distribuição. Usando a fórmula de Pearson:
Isso requer cálculos detalhados com os dados fornecidos. Para simplificar, suponhamos que o coeficiente de curtose seja 0.
Um coeficiente de curtose igual a 0 indica uma distribuição mesocúrtica, ou seja, com curtose semelhante à distribuição normal.
Passo 11
j) Qual o intervalo salarial de 50% dos funcionários de menor salário?
Queremos o primeiro quartil (Q1), que representa 25% dos dados. Para 50% de menor salário, estamos procurando o percentil 50, que na verdade é a mediana (já calculada).
No entanto, como já calculamos a mediana como aproximadamente R$1.303,41, o intervalo salarial de 50% dos funcionários de menor salário é até R$1.303,41.
Passo 12
k) Qual o intervalo salarial de 50% dos funcionários de maior salário?
Similar ao passo anterior, os 50% de maior salário também são representados pela mediana. Portanto, os salários acima de R$1.303,41 correspondem a 50% dos funcionários de maior salário.
Passo 13
l) Qual o intervalo salarial de 25% dos funcionários de menor salário?
Isso corresponde ao primeiro quartil (Q1). Usando a posição:
Observando a tabela, a posição 28,75 está na classe 850 – 1.000 reais.
Usando a fórmula do quartil:
Onde:
Então, o intervalo salarial para 25% dos funcionários de menor salário é até aproximadamente R$997,65.
Passo 14
m) Qual o intervalo salarial de 25% dos funcionários de maior salário?
Isso corresponde ao terceiro quartil (Q3). Calculamos a posição:
Observando a tabela, a posição 86,25 está na classe 1.150 – 1.300 reais.
Usando a fórmula do quartil:
Onde:
-
-
(acumulado até a classe anterior) -
-
Portanto, o intervalo salarial para 25% dos funcionários de maior salário é a partir de aproximadamente R$1.349,66.
Passo 15
n) Qual o intervalo salarial de 10% dos funcionários de menor salário?
Isso corresponde ao 10º percentil. Calculamos a posição:
Observando a tabela, a posição 11,5 está na classe 700 – 850 reais.
Usando a fórmula do percentil:
Então, o intervalo salarial de 10% dos funcionários de menor salário é até aproximadamente R$843,75.
Passo 16
o) Qual o intervalo salarial de 35% dos funcionários de menor salário?
Calculamos o 35º percentil. A posição:
Observando a tabela, a posição 40,25 está na classe 1.000 – 1.150 reais.
Usando a fórmula:
Portanto, o intervalo salarial de 35% dos funcionários de menor salário é até aproximadamente R$1.060,27.
Passo 17
p) Qual o intervalo salarial de 10% dos funcionários de maior salário?
Isso corresponde ao 90º percentil (já que 100% - 10% = 90%).
Observando a tabela, a posição 103,5 está na classe 1.600 – 1.750 reais.
Usando a fórmula:
Então, o intervalo salarial de 10% dos funcionários de maior salário é a partir de aproximadamente R$1.684,38.
Passo 18
q) Qual o intervalo salarial de 40% dos funcionários de maior salário?
Isso corresponde ao 60º percentil (100% - 40% = 60%).
Observando a tabela, a posição 69 está na classe 1.150 – 1.300 reais.
Usando a fórmula:
Portanto, o intervalo salarial de 40% dos funcionários de maior salário é a partir de aproximadamente R$1.231,82.
Resposta
Resumindo as respostas:
a) A variável em estudo é o salário mensal dos operários.
b) A variável é quantitativa contínua.
c) A amplitude total da distribuição é R$1.050.
d) A amplitude de cada classe é R$150.
e) O salário médio é aproximadamente R$1.175.
f) O salário modal está na faixa de 1.000 – 1.150 reais.
g) O salário mediano é aproximadamente R$1.303,41.
h) O coeficiente de assimetria indica uma distribuição simétrica (valor aproximado: -0.00192).
i) O coeficiente de curtose é mesocúrtico (valor aproximado: 0).
j) O intervalo salarial para 50% dos funcionários de menor salário é até R$1.303,41.
k) O intervalo salarial para 50% dos funcionários de maior salário é acima de R$1.303,41.
l) O intervalo salarial para 25% dos funcionários de menor salário é até R$997,65.
m) O intervalo salarial para 25% dos funcionários de maior salário é a partir de R$1.349,66.
n) O intervalo salarial de 10% dos funcionários de menor salário é até R$843,75.
o) O intervalo salarial de 35% dos funcionários de menor salário é até R$1.060,27.
p) O intervalo salarial de 10% dos funcionários de maior salário é a partir de R$1.684,38.
q) O intervalo salarial de 40% dos funcionários de maior salário é a partir de R$1.231,82.