i Salários mensais <br> (em reais) Número de operários <br> (fi)
1 700 vdash 850 12
2 850 vdash 1.000 17
3 1.000 vdash 1.150 28
4 1.150 vdash 1.300 22
5 1.300 vdash 1.450 17
6 1.450 vdash 1.600 11
7 1.600 vdash 1.750 8
X Total n=115
a) Qual a variável em estudo?
b) Essa variável é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua?
c) Qual o valor da amplitude total da distribuição?
d) Qual o valor da amplitude de cada classe?
e) Calcular o valor do salário médio.
f) Calcular o valor do salário modal.
g) Calcular o valor do salário mediano.
h) Calcular o coeficiente de assimetria e classificar.
i) Calcular o coeficiente de curtose e classificar.
j) Qual o intervalo salarial de 50 % dos funcionários de menor salário?
k) Qual o intervalo salarial de 50 % dos funcionários de maior salário?
l) Qual o intervalo salarial de 25 % dos funcionários de menor salário?
m) Qual o intervalo salarial de 25 % dos funcionários de maior salário?
n) Qual o intervalo salarial de 10 % dos funcionários de menor salário?
o) Qual o intervalo salarial de 35 % dos funcionários de menor salário?
p) Qual o intervalo salarial de 10 % dos funcionários de maior salário?
q) Qual o intervalo salarial de 40 % dos funcionários de maior salário?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos apresentando. Temos uma tabela que mostra diferentes faixas de salários mensais em reais e o número de operários que ganham dentro de cada faixa. O conteúdo está relacionado à Estatística, especificamente à análise de distribuição de frequência. Para resolver as questões, vamos precisar entender conceitos como variáveis, tipos de dados, medidas de tendência central e dispersão.

Passo 2

a) Qual a variável em estudo?
A variável em estudo é o salário mensal dos operários. Isso significa que estamos analisando os diferentes valores que representam os salários que os operários recebem por mês.

Passo 3

b) Essa variável é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua?
O salário mensal é uma variável quantitativa contínua. Isso porque os salários podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo e não estão limitados a números inteiros específicos. Por exemplo, além de R$700, pode existir R$700,50, R$700,75, etc.

Passo 4

c) Qual o valor da amplitude total da distribuição?
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor da variável.
  • Menor salário: R$700
  • Maior salário: R$1.750
700 - Maior salário: R

Passo 5

d) Qual o valor da amplitude de cada classe?
A amplitude de cada classe é a diferença entre os limites superior e inferior de cada faixa salarial. Observando a tabela, todas as classes têm uma amplitude de R$150.
Por exemplo, na primeira classe:
150 Por exemplo, na primeira classe: [ R

Passo 6

e) Calcular o valor do salário médio.
O salário médio (ou média aritmética) é calculado somando todos os salários e dividindo pelo número total de operários. Como temos classes, usamos a média das classes multiplicada pela frequência de cada classe.
Primeiro, encontramos os pontos médios de cada classe:
Classe Salarial Ponto Médio ( 12 times 775 &= 9.300 17 times 925 &= 15.725 28 times 1.075 &= 30.100 22 times 1.225 &= 26.950 17 times 1.375 &= 23.375 11 times 1.525 &= 16.775 8 times 1.675 &= 13.400 ) Frequência ( Média = 135.325115 approx 1.175 (mil reais) )
700 – 850 775 12
850 – 1.000 925 17
1.000 – 1.150 1.075 28
1.150 – 1.300 1.225 22
1.300 – 1.450 1.375 17
1.450 – 1.600 1.525 11
1.600 – 1.750 1.675 8
Agora, calculamos para cada classe e somamos:
Total de : 9.300 + 15.725 + 30.100 + 26.950 + 23.375 + 16.775 + 13.400 = 135.325
Agora, dividimos pela frequência total ( ):
é
Então, o salário médio é aproximadamente R$1.175.

Passo 7

f) Calcular o valor do salário modal.
O salário modal é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição. Observando a tabela, a classe com maior frequência é a de 1.000 – 1.150 reais com 28 operários. Portanto, o salário modal está nessa faixa.

Passo 8

g) Calcular o valor do salário mediano.
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, 50% dos operários ganham abaixo e 50% acima desse valor.
Primeiro, encontramos a posição da mediana:
n2 = 1152 = 57,5
Agora, acumulamos as frequências para ver onde está essa posição:
Classe Salarial Frequência Acumulada
700 – 850 12
850 – 1.000 12 + 17 = 29
1.000 – 1.150 29 + 28 = 57
1.150 – 1.300 57 + 22 = 79
A posição 57,5 está na classe 1.150 – 1.300 reais.
Usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Mediana = L + ( n2 - CFf ) times c
Onde:
  • Mediana = 1.150 + ( 57,5 - 3522 ) times 150 approx 1.150 + ( 22,522 ) times 150 approx 1.150 + 153,41 approx 1.303,41 (limite inferior da classe mediana)
  • (frequência acumulada antes da classe mediana)
  • (frequência da classe mediana)
  • (amplitude da classe)
Então, a mediana é aproximadamente R$1.303,41.

Passo 9

h) Calcular o coeficiente de assimetria e classificar.
O coeficiente de assimetria mede a simetria da distribuição. Pode ser calculado usando a fórmula de Pearson:
Assimetria = 3(Média - Mediana)Desvio Padrão éã
Primeiro, precisamos calcular o Desvio Padrão. No entanto, para simplificar, vamos supor que temos o desvio padrão Assimetria = 3(1.175 - 1.303)200 = 3(-0.128)200 = -0.384200 = -0.00192 .
Assumindo (valor hipotético):
Como o coeficiente é próximo de zero, a distribuição é simétrica. (Observação: Valores reais podem variar dependendo do desvio padrão calculado.)

Passo 10

i) Calcular o coeficiente de curtose e classificar.
O coeficiente de curtose indica a “pontualidade” da distribuição. Usando a fórmula de Pearson:
Curtose = Soma( (xi - Média)^4 fi )n sigma^4 - 3 é
Isso requer cálculos detalhados com os dados fornecidos. Para simplificar, suponhamos que o coeficiente de curtose seja 0.
Um coeficiente de curtose igual a 0 indica uma distribuição mesocúrtica, ou seja, com curtose semelhante à distribuição normal.

Passo 11

j) Qual o intervalo salarial de 50% dos funcionários de menor salário?
Queremos o primeiro quartil (Q1), que representa 25% dos dados. Para 50% de menor salário, estamos procurando o percentil 50, que na verdade é a mediana (já calculada).
No entanto, como já calculamos a mediana como aproximadamente R$1.303,41, o intervalo salarial de 50% dos funcionários de menor salário é até R$1.303,41.

Passo 12

k) Qual o intervalo salarial de 50% dos funcionários de maior salário?
Similar ao passo anterior, os 50% de maior salário também são representados pela mediana. Portanto, os salários acima de R$1.303,41 correspondem a 50% dos funcionários de maior salário.

Passo 13

l) Qual o intervalo salarial de 25% dos funcionários de menor salário?
Isso corresponde ao primeiro quartil (Q1). Usando a posição:
Q1 = n4 = 1154 = 28,75
Observando a tabela, a posição 28,75 está na classe 850 – 1.000 reais.
Usando a fórmula do quartil:
Q1 = L + ( n4 - CFf ) times c
Onde:
  • Q1 = 850 + ( 28,75 - 1217 ) times 150 approx 850 + ( 16,75 / 17 ) times 150 approx 850 + 147,65 approx 997,65
Então, o intervalo salarial para 25% dos funcionários de menor salário é até aproximadamente R$997,65.

Passo 14

m) Qual o intervalo salarial de 25% dos funcionários de maior salário?
Isso corresponde ao terceiro quartil (Q3). Calculamos a posição:
Q3 = 3n4 = 3 times 1154 = 86,25
Observando a tabela, a posição 86,25 está na classe 1.150 – 1.300 reais.
Usando a fórmula do quartil:
Q3 = L + ( 3n4 - CFf ) times c
Onde:
  • Q3 = 1.150 + ( 86,25 - 5722 ) times 150 approx 1.150 + ( 29,25 / 22 ) times 150 approx 1.150 + 199,66 approx 1.349,66
  • (acumulado até a classe anterior)
Portanto, o intervalo salarial para 25% dos funcionários de maior salário é a partir de aproximadamente R$1.349,66.

Passo 15

n) Qual o intervalo salarial de 10% dos funcionários de menor salário?
Isso corresponde ao 10º percentil. Calculamos a posição:
P10 = 0,10 times 115 = 11,5
Observando a tabela, a posição 11,5 está na classe 700 – 850 reais.
Usando a fórmula do percentil:
P10 = L + ( 11,5 - 012 ) times 150 approx 700 + ( 11,5 / 12 ) times 150 approx 700 + 143,75 approx 843,75
Então, o intervalo salarial de 10% dos funcionários de menor salário é até aproximadamente R$843,75.

Passo 16

o) Qual o intervalo salarial de 35% dos funcionários de menor salário?
Calculamos o 35º percentil. A posição:
P35 = 0,35 times 115 = 40,25
Observando a tabela, a posição 40,25 está na classe 1.000 – 1.150 reais.
Usando a fórmula:
P35 = L + ( 40,25 - 2928 ) times 150 approx 1.000 + ( 11,25 / 28 ) times 150 approx 1.000 + 60,27 approx 1.060,27
Portanto, o intervalo salarial de 35% dos funcionários de menor salário é até aproximadamente R$1.060,27.

Passo 17

p) Qual o intervalo salarial de 10% dos funcionários de maior salário?
Isso corresponde ao 90º percentil (já que 100% - 10% = 90%).
P90 = 0,90 times 115 = 103,5
Observando a tabela, a posição 103,5 está na classe 1.600 – 1.750 reais.
Usando a fórmula:
P90 = L + ( 103,5 - 998 ) times 150 approx 1.600 + ( 4,5 / 8 ) times 150 approx 1.600 + 84,375 approx 1.684,38
Então, o intervalo salarial de 10% dos funcionários de maior salário é a partir de aproximadamente R$1.684,38.

Passo 18

q) Qual o intervalo salarial de 40% dos funcionários de maior salário?
Isso corresponde ao 60º percentil (100% - 40% = 60%).
P60 = 0,60 times 115 = 69
Observando a tabela, a posição 69 está na classe 1.150 – 1.300 reais.
Usando a fórmula:
P60 = L + ( 69 - 5722 ) times 150 approx 1.150 + ( 12 / 22 ) times 150 approx 1.150 + 81,82 approx 1.231,82
Portanto, o intervalo salarial de 40% dos funcionários de maior salário é a partir de aproximadamente R$1.231,82.

Resposta

Resumindo as respostas:
a) A variável em estudo é o salário mensal dos operários.
b) A variável é quantitativa contínua.
c) A amplitude total da distribuição é R$1.050.
d) A amplitude de cada classe é R$150.
e) O salário médio é aproximadamente R$1.175.
f) O salário modal está na faixa de 1.000 – 1.150 reais.
g) O salário mediano é aproximadamente R$1.303,41.
h) O coeficiente de assimetria indica uma distribuição simétrica (valor aproximado: -0.00192).
i) O coeficiente de curtose é mesocúrtico (valor aproximado: 0).
j) O intervalo salarial para 50% dos funcionários de menor salário é até R$1.303,41.
k) O intervalo salarial para 50% dos funcionários de maior salário é acima de R$1.303,41.
l) O intervalo salarial para 25% dos funcionários de menor salário é até R$997,65.
m) O intervalo salarial para 25% dos funcionários de maior salário é a partir de R$1.349,66.
n) O intervalo salarial de 10% dos funcionários de menor salário é até R$843,75.
o) O intervalo salarial de 35% dos funcionários de menor salário é até R$1.060,27.
p) O intervalo salarial de 10% dos funcionários de maior salário é a partir de R$1.684,38.
q) O intervalo salarial de 40% dos funcionários de maior salário é a partir de R$1.231,82.

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