Quais são as coordenadas do ponto A^{\prime}, simétrico do ponto A=(1,0,3) em relação ao ponto O=(1,-2,-1) ?
Definição: Dizemos que dois pontos A e A^{\prime} são simétricos em relação a um terceiro ponto O, quando O é ponto médio do segmento que une A e A^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do ponto A', que é simétrico de A em relação ao ponto O. Dados fornecidos:
  • A=(1,0,3).
  • O=(1,-2,-1).
A definição dada: O é o ponto médio do segmento \overline{A A'}.

Passo 2

Entender a definição em termos de coordenadas. Se A=(x_A,y_A,z_A), A'=(x_{A'},y_{A'},z_{A'}) e O=(x_O,y_O,z_O) é o ponto médio de \overline{A A'}, então cada coordenada de O é a média aritmética das coordenadas correspondentes de A e A'. Em fórmulas:
x_O=\frac{x_A+x_{A'}}{2},\qquad y_O=\frac{y_A+y_{A'}}{2},\qquad z_O=\frac{z_A+z_{A'}}{2}.
Isolando x_{A'},y_{A'},z_{A'} obtemos a fórmula prática para o ponto simétrico em relação a um ponto:
x_{A'}=2x_O-x_A,\qquad y_{A'}=2y_O-y_A,\qquad z_{A'}=2z_O-z_A.
Explicação curta: isso vem de multiplicar cada igualdade por 2 e subtrair a coordenada conhecida de A.

Passo 3

Aplicar a fórmula A'=2O-A ao caso concreto. Primeiro calcular 2O:
2O=2\cdot(1,-2,-1)=(2,-4,-2).

Passo 4

Calcular coordenada a coordenada de A' usando A'=2O-A:
x_{A'}=2-1=1,
y_{A'}=-4-0=-4,
z_{A'}=-2-3=-5.
Assim, as coordenadas encontradas (componentes individuais) são x_{A'}=1, y_{A'}=-4 e z_{A'}=-5.

Passo 5

Verificação rápida (cheque de consistência): a média das coordenadas de A e do candidato A' deve dar O.
\frac{1+1}{2}=1,\qquad \frac{0+(-4)}{2}=-2,\qquad \frac{3+(-5)}{2}=-1.
Como essas médias coincidem com as coordenadas de O, a resposta está correta.

Resposta

A'=(1,-4,-5)

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