SAO DADAS AS MEDIDAS:
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05 ; \\\ & B=0,046 \pm 0,002 ; \\\ & C=66,23 \pm 0,03 ; \\\ & D=2,0045 \pm 0,0005 . \end{aligned}
EFETUE:
B^{2} / C

Passo 1

O enunciado pede calcular a grandeza B^{2}/C usando as medidas fornecidas. As informações dadas são (peguei estes valores do enunciado):
  • A=3,43\pm0,05 (não será usada neste cálculo);
  • B=0,046\pm0,002;
  • C=66,23\pm0,03;
  • D=2,0045\pm0,0005 (não será usada neste cálculo).
O que se quer: o valor numérico de
\frac{B^{2}}{C}
e a sua incerteza associada, considerando as incertezas de B e C.

Passo 2

Calcule primeiro o valor nominal (central) de f, onde definimos
f=\frac{B^{2}}{C}.
Substituindo os valores centrais (B=0,046,\; C=66,23):
B^{2} = (0,046)^{2} = 0,002116,
f=\frac{0,002116}{66,23}.
Agora dividindo:
f \approx 0,000031936 \quad\text{(ou seja }\approx 3,1936\times10^{-5}\text{)}.

Passo 3

Explicar como propagar a incerteza (aula rápida e prática).
Quando uma quantidade f depende de medições independentes B e C, a incerteza de f (assumindo erros não correlacionados) é obtida pela soma quadrática das contribuições parciais:
\sigma_{f}^{2}=\left(\frac{\partial f}{\partial B}\right)^{2}\sigma_{B}^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial C}\right)^{2}\sigma_{C}^{2}.
Isto vem da regra da propagação de incertezas usando derivadas parciais: cada termo mostra como a incerteza de uma variável (ex.: \sigma_B) afeta f, multiplicada pela sensibilidade \partial f/\partial B.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais e as contribuições numéricas.
A função é \displaystyle f=\frac{B^{2}}{C}. Então
\frac{\partial f}{\partial B}=\frac{2B}{C}, \qquad \frac{\partial f}{\partial C}=-\frac{B^{2}}{C^{2}}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{2B}{C}=\frac{2\cdot0,046}{66,23}=\frac{0,092}{66,23}\approx0,001389,
\frac{B^{2}}{C^{2}}=\left(\frac{0,046^{2}}{66,23^{2}}\right)=\frac{0,002116}{4386{,}...}\approx4,819\times10^{-7}.
Agora as contribuições às incertezas:
\sigma_{f,B}=\left|\frac{\partial f}{\partial B}\right|\sigma_{B}\approx 0,001389\cdot0,002=2,778\times10^{-6},
\sigma_{f,C}=\left|\frac{\partial f}{\partial C}\right|\sigma_{C}\approx 4,819\times10^{-7}\cdot0,03=1,446\times10^{-8}.
Repare que a contribuição de C é muito menor que a de B (praticamente desprezível neste caso).

Passo 5

Combine as contribuições pela soma quadrática:
\sigma_{f}=\sqrt{\sigma_{f,B}^{2}+\sigma_{f,C}^{2}} =\sqrt{(2,778\times10^{-6})^{2}+(1,446\times10^{-8})^{2}} \approx2,778\times10^{-6}.
Ou seja, \sigma_{f}\approx2,78\times10^{-6}.
Comentário didático curto: uma forma equivalente e mais direta é usar incertezas relativas. Para f=B^{2}/C vale
\frac{\sigma_{f}}{f}=\sqrt{\left(2\frac{\sigma_{B}}{B}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{C}}{C}\right)^{2}},
que dá o mesmo resultado numérico e deixa claro que o erro em B entra duplicado porque f depende de B^{2}.

Passo 6

Arredondamento e apresentação final:
  • Temos f\approx3,1936\times10^{-5} e \sigma_{f}\approx2,78\times10^{-6}.
  • Para reportar de forma adequada, apresenta-se a incerteza com dois dígitos significativos (ou geralmente com um) e arredonda-se o valor central para a mesma ordem decimal. Aqui escolhi manter dois algarismos na incerteza: 2,78\times10^{-6}\approx0,28\times10^{-5}.
  • Assim escrevemos
\frac{B^{2}}{C}=(3,19\pm0,28)\times10^{-5}.

Resposta

\displaystyle \frac{B^{2}}{C}=(3,19\pm0,28)\times10^{-5}

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