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Como são representados um único plano e uma família de planos cristalográficos?
Como são representados um único plano e uma família de planos cristalográficos?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas simples e diretas:
- Como é representado um único plano cristalográfico?
- Como é representada uma família de planos cristalográficos?
Não há outros dados fornecidos; a tarefa é explicar a notação e o procedimento para obter os índices que identificam planos cristalográficos.
Passo 2
Conceito principal (sem pular etapas): a representação padrão de planos cristalográficos usa os índices de Miller. Vou explicar passo a passo como obter os índices de Miller
para um único plano, porque isso é o que aparece sempre nas provas.
Regra prática para obter
:
- Determine os pontos de interseção do plano com os eixos da rede cristalina medidos em frações das constantes de rede
, , . Ou seja, encontre os interceptos em unidades de : — normalmente escrevemos só como em unidades de . - Tome os recíprocos dessas frações:
. - Multiplique por um fator comum para limpar frações e obter inteiros pequenos e relativamente primos. O resultado são os índices
. - Se o plano for paralelo a algum eixo, o intercepto é
e o recíproco é — isso gera um índice igual a .
Vou detalhar e ilustrar porque é importante entender cada passo.
Passo 3
Exemplo didático 1 (plano paralelo a dois eixos):
- Suponha um plano que intercepta o eixo
em e é paralelo aos eixos e . Em frações de os interceptos são . - Recíprocos:
. - Não há frações a limpar; os índices de Miller são
.
Interpretação:é um plano cuja normal está ao longo do eixo ; é comum escrever .
Exemplo didático 2 (interceptos fracionários):
- Plano intercepta em
, , . - Em unidades de
: . - Recíprocos:
. - Já são inteiros relativamente primos, então os índices de Miller são
.
Esse exemplo mostra como limpar frações usando recíprocos.
Passo 4
Casos especiais e notação de sinais:
- Plano paralelo a um eixo → índice zero. Ex.:
visto antes. - Intercepto negativo (plano que corta eixo no sentido negativo): usa-se o índice negativo, notado com barra superior em notação cristalográfica. Por exemplo, cortar o eixo
em dá índice , então o plano pode ser . - Como escrever índice negativo em LaTeX:
(ex.: ).
Passo 5
O que é uma família de planos cristalográficos e como representar:
- Um único plano de orientação dada é denotado por parênteses:
. - Uma família de planos equivalentes por simetria (todas as orientações obtidas por permutações e sinais, dependendo da simetria da rede) é denotada por chaves:
. - Exemplo concreto em uma rede cúbica (onde permutações e sinais geram os equivalentes): a família
inclui
.
Escreve-se compactamentepara representar todas essas faces equivalentes. - Observação importante: em cristais com simetria menor, a família
contém apenas os planos que são realmente equivalentes pela simetria da rede; não se deve automática e indiscriminadamente permutar índices em sistemas menos simétricos sem verificar a simetria.
Passo 6
Resumo prático para a prova (receita rápida):
- Para um único plano: apresente os índices de Miller como
. - Para uma família de planos equivalentes: use
. - Procedimento para obter
: achar interceptos em unidades de → tomar recíprocos → limpar para inteiros → anotar como . Use quando o plano for paralelo a um eixo e para índices negativos. - Exemplos a lembrar:
, , ; famílias: , .
Resposta
Um único plano é representado por
.
Uma família de planos cristalográficos é representada por .
Uma família de planos cristalográficos é representada por