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Como são representados um único plano e uma família de planos cristalográficos?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas simples e diretas:
  • Como é representado um único plano cristalográfico?
  • Como é representada uma família de planos cristalográficos?
Não há outros dados fornecidos; a tarefa é explicar a notação e o procedimento para obter os índices que identificam planos cristalográficos.

Passo 2

Conceito principal (sem pular etapas): a representação padrão de planos cristalográficos usa os índices de Miller. Vou explicar passo a passo como obter os índices de Miller (hkl) para um único plano, porque isso é o que aparece sempre nas provas.
Regra prática para obter (hkl):
  1. Determine os pontos de interseção do plano com os eixos da rede cristalina medidos em frações das constantes de rede a, b, c. Ou seja, encontre os interceptos em unidades de (a,b,c): \left(\dfrac{p}{a},\dfrac{q}{b},\dfrac{r}{c}\right) — normalmente escrevemos só como (p,q,r) em unidades de a,b,c.
  2. Tome os recíprocos dessas frações: \left(\dfrac{1}{p},\dfrac{1}{q},\dfrac{1}{r}\right).
  3. Multiplique por um fator comum para limpar frações e obter inteiros pequenos e relativamente primos. O resultado são os índices (h,k,l).
  4. Se o plano for paralelo a algum eixo, o intercepto é \infty e o recíproco é 0 — isso gera um índice igual a 0.
Vou detalhar e ilustrar porque é importante entender cada passo.

Passo 3

Exemplo didático 1 (plano paralelo a dois eixos):
  • Suponha um plano que intercepta o eixo x em x=a e é paralelo aos eixos y e z. Em frações de (a,b,c) os interceptos são (1,\infty,\infty).
  • Recíprocos: \left(1,\;0,\;0\right).
  • Não há frações a limpar; os índices de Miller são (1\,0\,0).
    Interpretação: (1\,0\,0) é um plano cuja normal está ao longo do eixo x; é comum escrever (100).
Exemplo didático 2 (interceptos fracionários):
  • Plano intercepta em x=\dfrac{a}{2}, y=\dfrac{b}{3}, z=c.
  • Em unidades de (a,b,c): \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},1\right).
  • Recíprocos: \left(2,3,1\right).
  • Já são inteiros relativamente primos, então os índices de Miller são (2\,3\,1).
    Esse exemplo mostra como limpar frações usando recíprocos.

Passo 4

Casos especiais e notação de sinais:
  • Plano paralelo a um eixo → índice zero. Ex.: (1\,0\,0) visto antes.
  • Intercepto negativo (plano que corta eixo no sentido negativo): usa-se o índice negativo, notado com barra superior em notação cristalográfica. Por exemplo, cortar o eixo x em -a dá índice \bar{1}, então o plano pode ser (\bar{1}\,1\,0).
  • Como escrever índice negativo em LaTeX: \bar{1} (ex.: (\bar{1}\,0\,0)).

Passo 5

O que é uma família de planos cristalográficos e como representar:
  • Um único plano de orientação dada é denotado por parênteses: (hkl).
  • Uma família de planos equivalentes por simetria (todas as orientações obtidas por permutações e sinais, dependendo da simetria da rede) é denotada por chaves: \{hkl\}.
  • Exemplo concreto em uma rede cúbica (onde permutações e sinais geram os equivalentes): a família \{1\,0\,0\} inclui
    \,(1\,0\,0),\,(0\,1\,0),\,(0\,0\,1),\,(\bar{1}\,0\,0),\,(0,\bar{1},0),\,(0,0,\bar{1}).
    Escreve-se compactamente \{1\,0\,0\} para representar todas essas faces equivalentes.
  • Observação importante: em cristais com simetria menor, a família \{hkl\} contém apenas os planos que são realmente equivalentes pela simetria da rede; não se deve automática e indiscriminadamente permutar índices em sistemas menos simétricos sem verificar a simetria.

Passo 6

Resumo prático para a prova (receita rápida):
  • Para um único plano: apresente os índices de Miller como (hkl).
  • Para uma família de planos equivalentes: use \{hkl\}.
  • Procedimento para obter (hkl): achar interceptos em unidades de a,b,c → tomar recíprocos → limpar para inteiros → anotar como (hkl). Use 0 quando o plano for paralelo a um eixo e \bar{n} para índices negativos.
  • Exemplos a lembrar: (1\,0\,0), (1\,1\,1), (2\,3\,1); famílias: \{1\,0\,0\}, \{1\,1\,1\}.

Resposta

Um único plano é representado por (hkl).
Uma família de planos cristalográficos é representada por \{hkl\}.