A satellite is fond to complete one revolution around its earth orbit in 100 minutes. (30)
(a) Derive the satellite and orbital velocity.
(b) Determine the satellite’s orbital velocity and the escape velocity from this orbit.
(a) Derive the satellite and orbital velocity.
(b) Determine the satellite’s orbital velocity and the escape velocity from this orbit.
Passo 1
O enunciado dá uma informação clara e pede duas coisas. Dados fornecidos:
- Período orbital do satélite:
.
Perguntas do enunciado:
(a) Derivar as fórmulas para a velocidade orbital do satélite (ou seja, expressões relacionando velocidade, raio e período do movimento).
(b) Usando o período dado, calcular numericamente (i) a velocidade orbital do satélite e (ii) a velocidade de escape a partir dessa órbita.
(a) Derivar as fórmulas para a velocidade orbital do satélite (ou seja, expressões relacionando velocidade, raio e período do movimento).
(b) Usando o período dado, calcular numericamente (i) a velocidade orbital do satélite e (ii) a velocidade de escape a partir dessa órbita.
Informações físicas/constantes que vou usar (valores padrão, em unidades SI):
- Constante gravitacional:
. - Massa da Terra:
. - Produto gravitacional (prático):
. - Raio médio da Terra:
.
Observação: primeiro vou derivar as fórmulas (parte a) de forma didática; depois substituo números e obtenho os valores (parte b).
Passo 2
Derivação física básica (passo-a-passo e explicando cada termo).
Quando um satélite descreve uma órbita circular de raio
, a força que o mantém nessa órbita é a gravidade. A força gravitacional entre Terra (massa
) e satélite (massa
) vale pela lei de Newton:
Para movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária para manter o satélite descrevendo a circunferência é
onde
é a velocidade orbital (módulo da velocidade linear).
Igualamos força gravitacional com força centrípeta (a gravidade fornece a centrípeta):
Cancelando
e simplificando:
Aqui:
-
é a velocidade orbital (m/s), -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é o raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite).
Agora relacionamos
com o período
. A velocidade linear em uma órbita circular também é
pois
é o comprimento da órbita e
é o tempo de uma volta. Igualando as duas expressões para
:
Elevando ao quadrado e isolando
obtemos a forma de Kepler/Lei de períodos:
Portanto, o raio da órbita em função do período é
Resumo das fórmulas úteis (parte a, final):
Passo 3
Agora vamos aplicar os números (parte b). Primeiro converter o período para segundos:
Substituir na fórmula de
usando
:
Calcule passo a passo:
Agora a raiz cúbica: escrever
.
Fazendo a raiz cúbica por partes:
Fazendo a raiz cúbica por partes:
E a raiz cúbica da mantissa
é aproximadamente
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Portanto o raio da órbita é aproximadamente
A altitude sobre a superfície da Terra é
Passo 4
Calcular a velocidade orbital
. Use a fórmula
.
Substituindo numericamente:
Verificação alternativa (consistência): usando
,
que coincide (boa checagem).
Em unidades mais familiares:
Passo 5
Calcular a velocidade de escape a partir dessa órbita. A velocidade de escape num ponto a distância
do centro é
Assim:
Em km/s:
Passo 6
Resumo interpretativo (uma palavrinha de ânimo): então com só o período
conseguimos achar o raio da órbita, daí a velocidade orbital e a velocidade de escape. Os valores encontrados são típicos de uma órbita baixa (LEO) com altitude da ordem de algumas centenas de quilômetros — por isso a velocidade orbital de cerca de
.
Resposta
(a)
(b) (altitude
),
,
.
(b)