E sboce o gráfico da função f(x) = 1/x e determine a equação da reta tangente no ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função e achar a equação da reta tangente nesse gráfico no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . Essa função é conhecida como uma hipérbole e tem duas partes: uma no primeiro quadrante (onde e ) e outra no terceiro quadrante (onde e ). O gráfico nunca toca os eixos, pois para , a função não está definida.

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente no ponto , primeiro precisamos encontrar a inclinação dessa reta. Isso significa que precisamos calcular a derivada da função em . A derivada nos dá a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Usando as regras de derivação, temos:
Então, a derivada de é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação para ficar mais clara:

Resposta

A equação da reta tangente à função no ponto é:

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