(SCHAUM - Pág. 185 - Exer. 50 - Liv. Antigo ou Pág. 204 - Exer.8-60 - Liv. Novo) Uma viga de madeira de 8 f t de vão tem seção transversal retangular de 6 in de base por 8 in de altura, é simplesmente apoiada nas suas extremidades. Sendo \sigma_{f}=2400 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2} e \tau_{f}=90 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}, qual a intensidade da carga uniformemente distribuída ao longo de todo o comprimento que essa viga pode suportar?

Passo 1

O enunciado dá uma viga simplesmente apoiada de vão 8\,\mathrm{ft} (ou seja, L=96\,\mathrm{in}), com seção retangular de largura b=6\,\mathrm{in} e altura h=8\,\mathrm{in}. A madeira tem resistência à flexão \sigma_{f}=2400\,\mathrm{lb/in^{2}} e resistência ao cisalhamento \tau_{f}=90\,\mathrm{lb/in^{2}}. Queremos achar a intensidade w da carga uniformemente distribuída (em \mathrm{lb/in} ou \mathrm{lb/ft}) que faça o máximo esforço de flexão e o máximo esforço de cisalhamento não ultrapassarem esses limites. Para isso, usaremos as fórmulas de momento fletor e de esforço cisalhante em viga simplesmente apoiada.

Passo 2

Calcular as propriedades da seção transversal:
I \;=\;\frac{b\,h^{3}}{12}
I \;=\;\frac{6\,(8)^{3}}{12} \;=\;\frac{6\cdot512}{12} \;=\;256\;\mathrm{in^{4}}
O semieixo neutro é
c \;=\;\frac{h}{2} \;=\;\frac{8}{2} \;=\;4\;\mathrm{in}
A área da seção é
A \;=\;b\,h \;=\;6\cdot8 \;=\;48\;\mathrm{in^{2}}

Passo 3

Controle pela flexão. Para carga uniforme w (em \mathrm{lb/in}) num vão L, o momento máximo ao meio é
M_{\max} \;=\;\frac{w\,L^{2}}{8}
Substituindo L=96\,\mathrm{in}:
M_{\max} \;=\;\frac{w\,(96)^{2}}{8} \;=\;w\;\frac{9216}{8} \;=\;1152\,w\;\mathrm{in\!-\!lb}
A tensão de flexão máxima vale
\sigma_{b} \;=\;\frac{M_{\max}\,c}{I} \;=\;\frac{1152\,w\cdot4}{256} \;=\;18\,w
Impondo \sigma_{b}\le2400\,\mathrm{lb/in^{2}}:
18\,w \;\le\;2400 \quad\Rightarrow\quad w_{\text{flex}} \;=\;\frac{2400}{18} \;=\;133{,}3\;\mathrm{lb/in}

Passo 4

Controle pelo cisalhamento. A força cortante máxima num apoio é metade da resultante:
V_{\max} \;=\;\frac{w\,L}{2} \;=\;\frac{w\cdot96}{2} \;=\;48\,w
A tensão de cisalhamento máxima em seção retangular é
\tau_{\max} \;=\;1{,}5\,\frac{V_{\max}}{A} \;=\;1{,}5\,\frac{48\,w}{48} \;=\;1{,}5\,w
Impondo \tau_{\max}\le90\,\mathrm{lb/in^{2}}:
1{,}5\,w\;\le\;90 \quad\Rightarrow\quad w_{\text{cisalh}} \;=\;\frac{90}{1{,}5} \;=\;60\;\mathrm{lb/in}

Passo 5

Comparando os dois valores:
w_{\text{flex}}=133{,}3\,\mathrm{lb/in} \quad\text{e}\quad w_{\text{cisalh}}=60\,\mathrm{lb/in},
o controle vem do cisalhamento. Logo, w=60\,\mathrm{lb/in}, que em \mathrm{lb/ft} é
w \;=\;60\;\frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{in}} \;\times\;12\;\frac{\mathrm{in}}{\mathrm{ft}} \;=\;720\;\frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}}.

Resposta

w=720\;\mathrm{lb/ft}

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