A seguinte conversa foi ouvida nos corredores de uma grande empresa de engenharia.
Engenheiro novo: “Olá, chefe. Por que esse grande sorriso?”
Engenheiro experiente: “Eu ganhei finalmente uma aposta de Harry Carey, do Departamento de Pesquisa. Ele apostou comigo que eu não conseguiria obter uma estimativa rápida e precisa para o volume molar do argônio a
e 300 bar. Que nada; eu usei a equação do gás ideal e obtive um valor em torno de
. Harry balançou a cabeça, mas pagou a aposta. O que você acha disso?”
Engenheiro novo (consultando seu livro de termodinâmica): “Eu acho que você deve estar certo.”
Argônio nas condições citadas não é um gás ideal. Demonstre numericamente por que o engenheiro experiente ganhou a aposta.
Engenheiro experiente: “Eu ganhei finalmente uma aposta de Harry Carey, do Departamento de Pesquisa. Ele apostou comigo que eu não conseguiria obter uma estimativa rápida e precisa para o volume molar do argônio a
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos numericamente por que o engenheiro experiente ganhou a aposta ao usar a equação do gás ideal para estimar o volume molar do argônio em
e
. Dados relevantes (fornecidos/implied pelo enunciado):
- Temperatura:
. - Pressão:
. - Constante universal dos gases:
. - Para avaliar o comportamento real do argônio precisamos de parâmetros críticos e acentric factor (valores conhecidos/aceitos na literatura):
- Temperatura crítica:
. - Pressão crítica:
. - Fator acêntrico:
(argônio é aproximadamente esférico, próximo de zero).
O que vamos calcular:
- Temperatura crítica:
- O volume molar estimado pelo gás ideal:
. - Uma estimativa mais realista (e padrão em engenharia) usando a equação de estado de Peng–Robinson (PR) para obter o volume molar real
e comparar com o ideal para ver se a aproximação foi boa.
Passo 2
Relembrando a fórmula do gás ideal e aplicando-a (aula curta e prática).
A equação do gás ideal é
A equação do gás ideal é
Para um mol (
) o volume molar é
Aqui:
-
é a constante dos gases em , -
é a temperatura absoluta em , -
é a pressão em .
Vamos calcular numericamentecom os números dados.
Passo 3
Cálculo numérico do volume molar pelo gás ideal (passo a passo de cálculo que você faria na prova).
Calculemos e depois
:
Calculemos
Convertendo para
(lembre:
):
Comentário didático: isso é exatamente o que o engenheiro experiente fez (usar
). Ele obteve algo em torno de
— nosso cálculo mais preciso dá
.
Passo 4
Por que precisamos de uma equação realista e qual escolher (mini-aula).
A altas pressões (aqui ) as interações intermoleculares e o volume finito das moléculas tornam o gás não-ideal. Para estimar a correção usamos uma equação de estado real. A Peng–Robinson (PR) é muito usada em engenharia por ser razoavelmente precisa para muitos gases e por dar uma equação cúbica em fator de compressibilidade
, o que facilita o cálculo do volume molar. A forma conveniente para resolver numericamente é escrever a PR em termos de
, onde
é o fator de compressibilidade definido por
A altas pressões (aqui
A PR leva às definições (parâmetros padrão):
Definimos ainda (formas adimensionais usadas na cúbica)
e a equação cúbica em
(forma padrão PR) é
Explicação prática: calculamos
e
(números), montamos a cúbica e encontramos a raiz física (para gás supercrítico/fluido denso geralmente há uma raiz real positiva razoável que corresponde ao estado de gás comprimido).
Passo 5
Cálculo dos parâmetros PR para o argônio (valores numéricos e explicação de cada passo).
- Calcule
:
- Calcule
com :
- Calcule
:
Como
, temos
, logo
- Calcule
e :
(Comentário: os números acima surgem pela substituição direta;
tem unidades consistentes para a PR quando usamos
em
e
em
.)
5) Calcule :
5) Calcule
Passo 6
Calcule
e
e forme a cúbica em
(passo a passo numérico).
- Já temos
. - Calcule
- Substituindo na cúbica
com os valores numéricos temos (aproximadamente)
Passo 7
Como resolver a cúbica em
sem calculadora simbólica (estratégia prática para prova).
- Você pode usar métodos numéricos simples (bisseção/iteração) ou testar valores de
próximos de (porque frequentemente está perto de para gases moderadamente não-ideais). - Fazemos tentativas: avaliar o polinômio para
, , etc. Observando sinais, localizamos a raiz entre e . Fazendo iterações simples (ou interpolação) obtemos a raiz física:
(Aqui eu mostrei o raciocínio de tentativa — na prova você pode fazer um pequeno quadro de avaliações e interpolar, ou usar uma calculadora científica para polinômios.)
Passo 8
Obtenção do volume molar real a partir de
e comparação com o ideal.
Usando , com
:
Usando
Convertendo para
:
Passo 9
Interpretação numérica final e conclusão (motivação para o aluno desesperado).
- O valor estimado pelo gás ideal ficou em
. - O valor mais realista (Peng–Robinson) ficou em
. - Diferença absoluta:
- Diferença relativa (percentual), tomando como referência o valor real:
Conclusão didática e encorajadora: apesar de o argônio em
não ser ideal, a aproximação pelo gás ideal dá um valor de ordem correta e muito próximo (erro de apenas
). Isso explica por que o engenheiro experiente ganhou a aposta: a aproximação rápida pelo gás ideal fornece um valor suficientemente preciso para a aposta. Para projetos mais críticos ou precisão maior, usa-se uma EOS real como PR, mas para uma “estimativa rápida e precisa” a regra do gás ideal foi boa o bastante.
Resposta
Diferença absoluta