A seguinte equação representa a taxa de variação temporal da concentração de um substrato que é convertido em produtos segundo uma reação de ordem em um reator enzimático contínuo com agitação:
Inicialmente o reator está operando em estado estacionário, isto é, d C / d t=0. No instante t = 0 ocorre uma variação degrau De na concentração de substrato da corrente de alimentação, passando o reator a operar nesta nova condição. Utilizando variáveis desvio, mostre que a resposta temporal do sistema pós-perturbação é dada por:
C(t)=De
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a concentração de um substrato muda ao longo do tempo em um reator enzimático contínuo com agitação. O conteúdo principal aqui envolve cinética química de primeira ordem e análise de sistemas dinâmicos usando variáveis desvio. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e resolver equações diferenciais de primeira ordem em condições de estado estacionário e após uma perturbação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
d Cd t + (1tau + k) C = 1tau Ci
Aqui, é o tempo de residência no reator, é a constante de taxa da reação de primeira ordem, é a concentração de substrato na corrente de alimentação, e representa a taxa de variação temporal da concentração .
Passo 3
Inicialmente, o reator está em estado estacionário, o que significa que a concentração 0 + (1tau + k) C = 1tau Ci não está mudando com o tempo. Matemáticamente, isso significa que . Vamos substituir isso na equação:
Passo 4
Agora, resolvemos para (1tau + k) C = 1tau Ci no estado estacionário:
C = 1tau Ci1tau + k = Ci1 + k tau
Então, a concentração no estado estacionário é .
Passo 5
No instante , ocorre uma variação degrau na concentração de substrato da corrente de alimentação. Isso muda a condição de operação do reator. Queremos encontrar como a concentração responde a essa mudança ao longo do tempo.
Passo 6
Para analisar a resposta do sistema após a perturbação, usamos as variáveis desvio. Definimos:
C = C - Css
De
Como inicialmente o reator está em estado estacionário, a variação na alimentação é .
Passo 7
Substituímos d (C + Css)d t + (1tau + k) (C + Css) = 1tau (Ci,ss + De na equação original:
d Cd t + (1tau + k) C + (1tau + k) Css = 1tau Ci,ss + 1tau De
Como é constante, . Então:
Passo 8
Sabemos que no estado estacionário:
(1tau + k) Css = 1tau Ci,ss
Substituindo isso na equação anterior:
d Cd t + (1tau + k) C = 1tau De
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
d Cd t + a C = b
onde C(t) = ba + (C(0) - ba) e^-a t e .
A solução geral dessa equação é:
Passo 10
Considerando que no instante C(t) = ba (1 - e^-a t) , a variação ainda não afetou a concentração, então C(t) = 1tau De. Substituindo na solução: