Quais das seguintes alternativas são verdadeiras para todas as funções
positivas? Dica: tente fazer
sendo polinomial, exponencial e logarítmica, quando couber.
a.
, quando
é polinomial
b.
c.
, quando
é exponencial
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar quais das afirmações a–d valem para toda função positiva
. A dica sugere testar três casos usuais de crescimento:
-
polinomial, por exemplo . -
exponencial, por exemplo com . -
logarítmica, por exemplo .
Passo 2
Analisando a afirmação (a):
- Se
, então e . - Logo
de fato vale para funções polinomiais.
Mas se, então e , e não é .
Portanto (a) não vale para toda, apenas para polinomiais.
Passo 3
Analisando a afirmação (b):
- Para
, temos e , logo não é (é ). - Para
, cresce muito mais rápido que , então tampouco é . - Para
, e ; aqui também não é (é mas não estritamente menor).
Logo (b) é falsa em todos os três casos.
Passo 4
Analisando a afirmação (c):
- Se
, então e . - A razão
, portanto não existe constante que faça para grande.
Logo (c) também é falsa mesmo no caso exponencial.
Passo 5
Analisando a afirmação (d):
- Para
, e , então vale (é ). - Para
, cresce muito mais rápido que , então também vale ( ). - Mas para
, temos e , e não domina (falha o ).
Portanto (d) falha no caso logarítmico.
Resposta
Nenhuma das alternativas a, b, c ou d vale para todas as funções positivas
.